已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T f(x)成立。(1)函数f(x)= x 是否属于集合M?说明理由
题型:解答题难度:困难来源:上海高考真题
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T f(x)成立。 (1)函数f(x)= x 是否属于集合M?说明理由; (2)设函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=ax∈M; (3)若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围。 |
答案
解:(1)对于非零常数T,f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx 因为对任意x∈R,x+T= Tx不能恒成立, 所以f(x)=。 (2)因为函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点, 所以方程组:有解,消去y得ax=x, 显然x=0不是方程ax=x的解, 所以存在非零常数T,使aT=T 于是对于f(x)=ax有
故f(x)=ax∈M。 (3)当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M 当k≠0时,因为f(x)=sinkx∈M, 所以存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立, 即sin(kx+kT)=Tsinkx 因为k≠0,且x∈R, 所以kx∈R,kx+kT∈R, 于是sinkx ∈[-1,1],sin(kx+kT)∈[-1,1], 故要使sin(kx+kT)=Tsinkx成立, 只有T=±1,当T=1时,sin(kx+k)=sinkx 成立,则k=2mπ,m∈Z 当T=-1时,sin(kx-k)=-sinkx成立,即sin(kx-k+π)=sinkx 成立, 则-k+π=2mπ,m∈Z ,即k=-2(m-1)π,m∈Z 综合得,实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}。 |
举一反三
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