法一:不妨设,由于当集确定后,集便唯一确定,故只须考虑集的个数,设,为最大数,由,则 ,,于是 , 故中有奇数个奇数. 、若中有个奇数,因中的六个奇数之和为,而,则 ,这时得到唯一的; 、若中有个奇数、两个偶数;用表示中这两个偶数之和;表示中这三个奇数之和,则,于是.共得的种情形.其中, 、当,则,,;可搭配成的个情形; 、当,则,;可搭配成的个情形; 、当,则,,,可搭配成的个情形; 、当,则,,,可搭配成的个情形; 、当,则,,可搭配成的个情形; 、当,则,;可搭配成的个情形; 、当,则,;可搭配成的个情形. 、若中有一个奇数、四个偶数,由于中除外,其余的五个偶数和,从中去掉一个偶数,补加一个奇数,使中五数之和为,分别得到的个情形:. 综合以上三步讨论,可知集有种情形,即有种“等和划分”. 法二:元素交换法,显然,恒设; 、首先注意极端情况的一个分划:,显然数组与中,若有一组数全在中,则另一组数必全在中; 以下考虑两数至少一个不在中的情况,为此,考虑中个数相同且和数相等的元素交换: 、;;; ;共得到个对换; 、;;; ;;共得到个对换; 、;;; ;; ;共得到个对换.每个对换都得到一个新的划分,因此,本题共得种等和划分. |