法一:不妨设 ,由于当集 确定后,集 便唯一确定,故只须考虑集 的个数,设 , 为最大数,由 ,则
, ,于是 , 故 中有奇数个奇数.
、若 中有 个奇数,因 中的六个奇数之和为 ,而 ,则
,这时得到唯一的 ;
、若 中有 个奇数、两个偶数;用 表示 中这两个偶数 之和; 表示 中这三个奇数 之和,则 ,于是 .共得 的 种情形.其中,
、当 ,则 , , ;可搭配成 的 个情形;
、当 ,则 , ;可搭配成 的 个情形;
、当 ,则 , , ,可搭配成 的 个情形;
、当 ,则 , , ,可搭配成 的 个情形;
、当 ,则 , ,可搭配成 的 个情形;
、当 ,则 , ;可搭配成 的 个情形;
、当 ,则 , ;可搭配成 的 个情形.
、若 中有一个奇数、四个偶数,由于 中除 外,其余的五个偶数和 ,从中去掉一个偶数,补加一个奇数,使 中五数之和为 ,分别得到 的 个情形: . 综合以上三步讨论,可知集 有 种情形,即 有 种“等和划分”. 法二:元素交换法,显然 ,恒设 ;
、首先注意极端情况的一个分划: ,显然数组 与 中,若有一组数全在 中,则另一组数必全在 中; 以下考虑 两数至少一个不在 中的情况,为此,考虑 中个数相同且和数相等的元素交换:
、 ; ; ;
;共得到 个对换;
、 ; ; ;
; ;共得到 个对换;
、 ; ; ;
; ;
;共得到 个对换.每个对换都得到一个新的划分,因此,本题共得 种等和划分. |