设函数f(x)定义在R上,对于任意实数m、n,恒有f(m+n)=f(m)⋅f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.(1)求证:f(0)=1,且当x<0时,f(
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)定义在R上,对于任意实数m、n,恒有f(m+n)=f(m)⋅f(n),且当x>0时,0<f(x)<1. (1)求证:f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1; (2)设集合A={(x,y)|f(x2)⋅f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=∅,求a的取值范围. |
答案
(1)令m=1,n=0,得f(1)=f(1)•f(0) 又当x>0时,0<f(x)<1,所以f(0)=1 设x<0,则-x>0 令m=x,n=-x,则f(0)=f(x)•f(-x) 所以f(x)•f(-x)=1 又0<f(-x)<1,所以f(x)=>1 (2)设x1、x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0 所以0<f(x2-x1)<1,从而f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)•f(x1), 又由已知条件及(1)的结论知f(x)>0恒成立 所以=f(x2-x1),所以0<<1, 所以f(x2)<f(x1),故f(x)在R上是单调递减的. 由f(x2)•f(y2)>f(1)得:f(x2+y2)>f(1), 因为f(x)在R上单调递减,所以x2+y2<1,即A表示圆x2+y2=1的内部, 由f(ax-y+2)=1=f(0)得:ax-y+2=0 所以B表示直线ax-y+2=0, 所以A∩B=∅,所以直线与圆相切或相离,即≥1 解得:-≤a≤. |
举一反三
已知集合A={x 题型:x+1|<2},B={x|-x2+2x+3≥0},则A∪B=______. |
难度:|
查看答案 已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,5},则A∪B=( )A.{2} | B.{2,4} | C.{2,4,5} | D.{1,2,3,4,5} |
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已知不等式|x-1|≤a(a>0)的解集为A,函数f(x)=lg的定义域为B. (1)若a=2,求A∩B; (2)若A∩B=∅,求a的取值范围. |
已知集合A={x|3≤x<7},B={x|4<x≤10},C={x|x<a} (1)求A∪B;(∁RA)∩B; (2)若A∩C≠∅,求a的取值范围. |
已知全集U=R,集合M={x|x2-x=0},N={x|x=2n+1,n∈Z},则集合M∩∁UN为( ) |