已知函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知函数f(x)=log₂+log₂(x-1)+log₂(p-x).
（1）求f(x)的定义域；
（2）求f(x)的值域.

答案

（1）定义域是(1,p)（2）当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log₂(p+1)-2］;
当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log₂(p-1)).

解析

（1）f(x)有意义时，有
由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定义域是(1,p).
（2）f(x)=log₂［(x+1)(p-x)］
=log₂［-（x-）²+］ (1＜x＜p),
①当1＜＜p，即p＞3时，
0＜-(x-,
∴log₂≤2log₂(p+1)-2.
②当≤1，即1＜p≤3时，
∵0＜-(x-
∴log₂＜1+log₂(p-1).
综合①②可知：
当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log₂(p+1)-2］;
当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log₂(p-1)).