已知函数f(x)=|1-1x|,x>0.(1)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求证:ab>1;(2)是否存在实数a、b,(a<b),使得函数y=f(x)的
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已知函数f(x)=|1-1x|,x>0.(1)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求证:ab>1;(2)是否存在实数a、b,(a<b),使得函数y=f(x)的
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=|1-
1
x
|,x>0
.
(1)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求证:ab>1;
(2)是否存在实数a、b,(a<b),使得函数y=f(x)的定义域是[a,b],值域是
[
1
5
a,
1
5
b]
,若存在,则求出a、b的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)证明:∵0<a<b,且f(a)=f(b),∴
1
a
>
1
b
>0.
∴1-
1
a
=-(1-
1
b
),∴2=
1
a
+
1
b
>2
1
ab
,∴
1
a
1
b
<1,∴ab>1.
(2)由函数y=f(x)的定义域是[a,b],值域是
[
1
5
a,
1
5
b]
,
当1≤a<b 时,可得
f(x)=|1-
1
x
|
=1-
1
x
在[a,b]上是增函数,故有 1-
1
a
=
1
5
a,1-
1
b
=
1
5
b,
解得 a=
5-
5
2
,b=
5+
5
2
.
当0<a<b≤1时,可得
f(x)=|1-
1
x
|
=
1
x
-1 在[a,b]上是减函数,故有
1
b
-1
=
1
5
a
,
1
a
-1
=
1
5
b
,
解得 a=
45
-1
2
,b=
45
-1
2
(不合题意舍去).
当0<a<1<b时,函数y=f(x)在定义域[a,b]上的最小值为0,根据值域是
[
1
5
a,
1
5
b]
,
可得
a
5
=0,a=0 (不合题意舍去).
综上,存在a=
5-
5
2
,b=
5+
5
2
满足条件.
举一反三
函数
y=
2x-5
x-3
(x∈A)的值域是(-∞,0]∪[4,+∞),则集合A=______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
函数
f(x)=
x-
x
2
x-1
的定义域是______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
若函数f(x)的定义域与值域都为同一区间D,则称函数f(x)为区间D上的“同势”函数.已知函数f(x)=x
2
-2x+1是区间D上的“同势”函数,则此区间可以是______.(只要写出一个你认为正确的区间即可)
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数
f(x)=
1
1-
1-x
的定义域是______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
函数
y=
log
0.5
(4
x
2
-3x)
+lg
1+x
1-x
的定义域为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
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