x,y是两个不相等的正数,且满足x3-y3=x2-y2,则[9xy]的最大值为______.(其中[x]表示不超过x的最大整数).
题型:填空题难度:一般来源:不详
x,y是两个不相等的正数,且满足x3-y3=x2-y2,则[9xy]的最大值为______.(其中[x]表示不超过x的最大整数). |
答案
∵x,y是两个不相等的正数,且满足x3-y3=x2-y2,∴x2+xy+y2=x+y, 将其看成y的函数,解出y=(1-x±),由定义域知-<x<1, 若y=(1-x-), 解y>0,1-x-•>0,1-x>1+3x,x<0,与x,y同为正数不符, 所以y=(1-x+),且y>0,x>0, (1+2x-3x2)=3[-(x-)2], 设x-=sinα,即x=(1+2sinα),其中-≤α≤, 由x>0,知-<α≤, y=(1-x+)=(1-sinα+cosα), 由x,y不相等,知1+2sinα≠1-sinα+cosα,tanα≠,知α≠, 9xy=(1+2sinα)(1-sinα+cosα)=1+sinα+cosα-2sin2α+2sinαcosα, ∵(sinα+cosα)2=sin2α+2sinαcosα+3cos2α=3-2sin2α+2sinαcosα, 9xy=-2+sinα+cosα+(sinα+cosα)2=(sinα+cosα+)2-, ∵sinα+cosα=2sin(α+),-<α≤,α≠, ∴<α+≤,但α+≠, ∴1≤2sin(α+)<2. 所以9xy=(sinα+cosα+)2-<(2+)2-=4. ∴[9xy]的最大值为3. 故答案为:3. |
举一反三
已知:f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0). (1)求f(x)的定义域; (2)判断f(x)在其定义域内的单调性; (3)若f(x)在(1,+∞)内恒为正,试比较a-b与1的大小. |
已知函数f(x)=log2 (1)求 f(x) 的定义域; (2)讨论f(x) 的奇偶性; (3)用定义讨论 f(x) 的单调性. |
已知长方形的四个顶点A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0).若1<x4<2,求tanθ的取值范围. |
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