已知f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,对任意实数x恒有f(1-x)=f(1+x)成立,方程f(x)=x有两个相等实根.(1)求f(x);(2)是否存在实
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,对任意实数x恒有f(1-x)=f(1+x)成立,方程f(x)=x有两个相等实根. (1)求f(x); (2)是否存在实数m,n,使得函数f(x)在区间[m,n]上的值域为[3m,3n]?为什么? |
答案
(1)∵f(1-x)=f(1+x),∴f(x)的对称轴为x=1, 可得-=1即b=-2a.(*) ∵f(x)=x有两相等实根,∴ax2+bx=x,即方程ax2+(b-1)x=0有两相等实数根, ∴(b-1)2-4×a×0=0,解之得b=1,代入(*)得a=-, ∴函数的解析式为f(x)=-x2+x. (2)由(1)得f(x)=-x2+x=-(x-1)2+≤, 若函数f(x)在区间[m,n]上的值域为[3m,3n],可得3n≤,所以m<n≤, 又∵函数的图象是开口向下的抛物线,对称轴为x=1, ∴f(x)在区间[m,n]上单调递增,有f(m)=3m且f(n)=3n, 解之得m=0或m=-4,n=0或n=-4, 又∵m<n,∴m=-4,n=0. 即存在实数m=-4、n=0,使得函数f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[3m,3n]. |
举一反三
函数y=的定义域是( )A.(-∞,3] | B.(-∞,-1)∪(-1,+∞) | C.(-∞,-1)∪(-1,3) | D.(-∞,-1)∪(-1,3] |
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设函数f(x)=(a>0,且a≠1),[m]表示不超过实数m的最大整数,则实数[f(x)-]+[f(-x)-]的值域是 ( )A.[-1,1] | B.[0,1] | C.{-1,0} | D.{-1,1} |
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函数y=的定义域是( )A.(-∞,-1) | B.(-l,1) | C.(-∞,-1)∪(-1,1) | D.(-∞,-1) |
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规定a△b=+a+b,a,b∈R*,若1△k=3,则函数f(x)=k△x的值域为______ |
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