已知函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．（1）设t=1+x+1-x，求t的取值范围；（2）求g（a）．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值为g（a）．
（1）设t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范围；
（2）求g（a）．

答案

（1）t=

1+x

+

1-x

 的定义域是[-1，1]，
t²=2+2

1-x2

∈[2，4]，∵t＞0，
∴t∈[

2

，2]
∴t的取值范围是[

2

，2]．
（2）由（1）知

1-x2

=

1

2

t²-1，
∴f（t）=

1

2

at²+t-a，t∈[

2

，2]
①当a＞0时，f（t）在[

2

，2]上递增，
∴g（a）=f（2）=2a+2-a=a+2；
②当a=0时，f（t）=t，在[

2

，2]上递增，
∴g（a）=2；
③当a＜0时，分三种情况讨论，
A：-

1

2

＜a＜0，-

1

a

＞2，∴g（a）=f（2）=a+2；
B：a＜-

2

2

，-

1

a

＜

2

，∴g（a）=f（

2

）=

2

；
C：-

2

2

≤a≤-

1

2

，-

1

a

∈[

2，

2]，∴g（a）=-a-

1

2a

综上g（a）=

a+2.    (a＞- 1 2 ) -a- 1 2a . (- 2 2 ＜a＜- 1 2 ) 2 .         (a≤- 2 2 )