已知函数f(x)=-x2+2bx-b(1)当b=2时,求函数y=f(x) 在[1,4]上的最值;(2)若函数y=f(x) 在[1,4]上仅有一个零点,求b的取值
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=-x2+2bx-b (1)当b=2时,求函数y=f(x) 在[1,4]上的最值; (2)若函数y=f(x) 在[1,4]上仅有一个零点,求b的取值范围; (3)是否存在实数b,使得函数y=f(x) 在[1,+∞)上的最大值是2,若存在,求出b的值;若不存在,请说明理由. |
答案
f(x)=-x2+2bx-b=-(x-b)2-b+b2,的图象开口向下,对称轴为x=b的抛物线…(1分) (1)当b=2时,f(x)=-x2+4x-2=-(x-2)2+2的图象开口向下,对称轴为x=2…(2分) ∴f(x)max=f(2)=2, f(x)min=f(4)=-2…(4分) (2)∵函数y=f(x) 在[1,4]上仅有一个零点 ∴f(1)•f(4)≤0…(6分)(须验证端点是否成立与△=0的情况) 即(-1+b)(-16+7b)≤0 ∴1≤b≤ ∴b的取值范围是[1,]…(7分) (3)当b<1时,y=f(x) 在[1,+∞)上是减函数, f(x)max=f(1)=b-1=2 解得b=3,不合要求…(9分) 当b≥1时,f(x)max=f(b)=b2-b=2即b2-b-2=0 解得b=2或b=-1(不合,舍去), ∴b=2…(11分) 综上所述,当b=2时,使得函数y=f(x) 在[1,+∞)上的最大值是2.…(12分) |
举一反三
已知函数f(x)=a-x2+2x+3,(a>0,a≠1) (1)当a=3时,求f(x)的定义域和值域 (2)求f(x)的单调区间. |
函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是( )A.(0,1] | B.[0,1] | C.(-∞,0)∪(1,+∞) | D.(-∞,0)∪[1,+∞) |
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函数f(x)=的定义域是( )A.(1,3) | B.(1,3] | C.[1,3] | D.(1,+∞) |
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已知函数f(x)=4-(x>0), (Ⅰ)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (Ⅱ)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](0<m<n),求m、n的值. |
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