已知函数f(x)=a-x2+2x+3,(a>0,a≠1)(1)当a=3时,求f(x)的定义域和值域(2)求f(x)的单调区间.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=a-x2+2x+3,(a>0,a≠1) (1)当a=3时,求f(x)的定义域和值域 (2)求f(x)的单调区间. |
答案
(1)当a=3时,对任意x∈R时,函数f(x)=3-x2+2x+3均有意义,故函数的定义域为(-∞,+∞), 而由而二次函数的知识可得-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4,故f(x)=3-x2+2x+3≤34=81, 而由指数函数的值域可知f(x)=3-x2+2x+3>0,故函数的值域为(0,81] (2)由二次函数的知识可知函数t=-x2+2x+3的单调递增区间为(-∞,1],单调递减区间为[1,+∞). 由复合函数的单调性可知:当a>1时,函数单调增区间为(-∞,1]函数减区间为[1,+∞); 当0<a<1时,函数单调减区间为(-∞,1];函数增区间为[1,+∞). |
举一反三
函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是( )A.(0,1] | B.[0,1] | C.(-∞,0)∪(1,+∞) | D.(-∞,0)∪[1,+∞) |
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函数f(x)=的定义域是( )A.(1,3) | B.(1,3] | C.[1,3] | D.(1,+∞) |
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已知函数f(x)=4-(x>0), (Ⅰ)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (Ⅱ)若f(x)在[m,n]上的值域是[m,n](0<m<n),求m、n的值. |
函数f(x)=x+在区间[,3]上的最小值为m,最大值为n,则m+3n=______. |
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