已知函数f（x）=4-1x（x＞0），（Ⅰ）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（Ⅱ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），求m、n的值

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=4-

1

x

（x＞0），
（Ⅰ）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），求m、n的值．

答案

（Ⅰ）证明：设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(4-

1

x1

)-(4-

1

x2

)
=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

．
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
则f(x1)-f(x2)=

x1-x2

x1x2

＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
又f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），
∴

f(m)=4- 1 m =m f(n)=4- 1 n =n

，
解得：

m=2- 3 n=2+ 3

．
∴m=2-

3

，n=2+

3

．