已知函数f(x)=ax﹣lnx+1(a∈R),g(x)=xe1-x。(1)求函数g(x)在区间(0,e]上的值域;(2)是否存在实数a,对任意给定的x0∈(0,

已知函数f(x)=ax﹣lnx+1(a∈R),g(x)=xe1-x。(1)求函数g(x)在区间(0,e]上的值域;(2)是否存在实数a,对任意给定的x0∈(0,

题型:单选题难度:困难来源:湖南省期中题
已知函数f(x)=ax﹣lnx+1(a∈R),g(x)=xe1-x
(1)求函数g(x)在区间(0,e]上的值域;
(2)是否存在实数a,对任意给定的x0∈(0,e],在区间[1,e]上都存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由。
(3)给出如下定义:对于函数y=F(x)图象上任意不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果对于函数y=F(x)图象上的点M(x0,y0)(其中总能使得F(x1)﹣F(x2)=F"(x0)(x1-x2)成立,则称函数具备性质“L”,试判断函数f(x)是不是具备性质“L”,并说明理由。
答案

解:(1)∵g"(x)=e1-x+xe1-x=ex-1(1-x)在区间(0,1]上单调递增,
在区间[1,e)上单调递减,且g(0)=0,g(1)=1>g(e)=e2-e
函数g(x)在区间(0,e]上的值域为(0,1]。
(2)令m=g(x),则由(1)可得m∈(0,1],
原问题等价于:对任意的m∈(0,1]
f(x)=m在[1,e]上总有两个不同的实根,
故f(x)在[1,e]不可能是单调函数                              

当a≤0时,,在区间[1,e]上递减,不合题意
当a≥1时,f"(x)>0,在区间[1,e]上单调递增,不合题意
时,f"(x)<0,在区间[1,e]上单调递减,不合题意
时,在区间上单调递减;在区间上单递增,
由上可得,此时必有f(x)的最小值小于等于0且f(x)的最大值大于等于1,
而由可得
则a∈Φ
综上,满足条件的a不存在.
(3)设函数f(x)具备性质“L”,即在点M处地切线斜率等于kAB,不妨设0<x1<x2

而f(x)在点M处的切线斜率为
故有


则上式化为
令F(t)=
则由
可得F(t)在(0,1)上单调递增,
故F(t)<F(1)=0,
即方程无解,
所以函数f(x)不具备性质“L”。

举一反三
函数的定义域是[     ]
A.[﹣1,+∞)
B.[﹣1,1)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)
D.(-∞,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
求函数y=的定义域                  
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数的定义域为集合A,函数y=log2(x2﹣4x+12)的值域为集合B, (1) 求出集合A,B;
(2) 求ACRB,CRACRB.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数的定义域为[     ]
A.{x|x>1}
B.{x|x<1}
C.{x|﹣1<x<1}
D.{x|x<-1或x>1}
题型:单选题难度:简单| 查看答案

关于下列命题:
①若函数y=2x的定义域是{x|x0},则它的值域是{y|y1};
②若函数y=的定义域是{x|x>2},则它的值域是{y|y};
③若函数y=x2的值域是{y|0y4},则它的定义域一定是{x|﹣2x2};
④若函数y=的值域是{y|y3},则它的定义域是{x|0<x8}.
其中不正确的命题的序号是(    )(注:把你认为不正确的命题的序号都填上)。

题型:填空题难度:一般| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.