已知定义在（0，+∞）上的函数 满足： ①对任意的x，y∈（0，+∞） 都有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时时，f（x）＞0。求证：（1）对任意的x

题型：解答题难度：一般来源：0115 期中题

已知定义在（0，+∞）上的函数 满足： ①对任意的x，y∈（0，+∞） 都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时时，f（x）＞0。
求证：（1）对任意的x∈（0，+∞），都有
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数。

答案

解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）对任意的x，y∈（0，+∞）
f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0，
而f（）+f（x）==f（1）=0，
∴
（2）设，而，

显然，而当x＞1时，f（x）＞0
∴，即，
f（x）在（0，+∞）上市增函数。