定义在上的函数,当时,,且对任意的 ,有,(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:对任意的,恒有;(Ⅲ)证明:是上的增函数.
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定义在上的函数,当时,,且对任意的 ,有,(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:对任意的,恒有;(Ⅲ)证明:是上的增函数.
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
定义在
上的函数
,当
时,
,且对任意的
,有
,
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求证:对任意的
,恒有
;
(Ⅲ)证明:
是
上的增函数.
答案
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)
.
解析
试题分析:(Ⅰ)令
即可得证;(Ⅱ)令
得,
,由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0,故对任意x∈R,f(x)>0;(Ⅲ)先证明
为增函数:任取x
2
>x
1
,
则
,
,故
,故其为增函数.
试题解析:(Ⅰ)令
,则f(0)=[f(0)]
2
∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1 2分
(Ⅱ)令
则 f(0)=f(x)f(-x)∴
4分
由已知x>0时,f(x)>1>0,当x<0时,-x>0,f(-x)>0
∴
,又x=0时,f(0)=1>0 6分
∴对任意x∈R,f(x)>0 7分
(Ⅲ)任取x
2
>x
1
,则f(x
2
)>0,f(x
1
)>0,x
2
-x
1
>0 8分
∴
∴ f(x
2
)>f(x
1
) ∴ f(x)在R上是增函数 13分
举一反三
函数
的零点的个数( )
A.4
B.3
C.2
D.1
题型:单选题
难度:简单
|
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已知
是R上的单调递增函数,则实数
的取值范围为 ( )
A.(1,+∞)
B.[4,8)
C.(4,8)
D.(1,8)
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
定议在
上的单调函数
满足
,且对任意
都有
(1)求证:
为奇函数;
(2)若
对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
则
( )
A.-
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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设函数
,其中
表示不超过
的最大整数,如
,
.若直线
与函数
的图象恰好有3个不同的交点,则实数
的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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