试题分析: (1) 根据二次函数的函数值f(1)=0和函数值恒大于等于零得到及解析式。 (2) 在(1)在条件下,要是函数单调递增,则根据对称轴与定义域的关系分类讨论得到。 (3) 结合奇偶性的性质,以及函数单调性得到不等式的证明。 解(1)∵ ,∴ (1分)
对任意实数 均有 恒成立, 即对任意实数 均有 恒成立(2分) 当 时, ,这时, ,它不满足 恒成立(3分) 当 时,则 且![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818004223-91774.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818004223-85260.png) , (4分) 从而 ,∴ (5分) (2)由(1)知![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818004224-91176.png) ∴ = (6分)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818004222-78410.png) 在区间 是单调函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818004223-85260.png) 或 ,即 或![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818004225-66515.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818004223-85260.png) 的取值范围是 (7分) (3) ∵ 是偶函数,∴ (8分) 故 , (9分) ∵ ,∴当 时![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818004220-53217.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818004226-86018.png)
中至少有一个正数,即 都是正数或一个正数,一个负数 若 都是正数,则 ,所以 (10分) 若 一个正数,一个负数,不妨设 ,又![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818004227-44463.png) 则 = (11分) 综上可得, .(12分) 点评:解决该试题的关键是能通过解析式的特点以及二次函数的性质,来得到判别式小于等于零,从而得到解析式。 |