设函数f(x)的定义域为R,对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=-4. (1)求证: f(x)

 设函数f(x)的定义域为R,对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=-4. (1)求证: f(x)

题型:解答题难度:一般来源:不详
 设函数f(x)的定义域为R,对任意实数xy都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=-4.
(1)求证: f(x)为奇函数;
(2)在区间[-9,9]上,求f(x)的最值.
答案
(1) 证明略(2) f(x)在区间[-9,9]上的最大值为12,最小值为-12.
解析
 令x=y=0,得f(0)=0
y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)
f(x)是奇函数
(2)解: 1°,任取实数x1x2∈[-9,9]且x1x2,这时,x2x1>0,
f(x1)-f(x2)=f[(x1x2)+x2]-f(x2)=f(x1x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2x1)
因为x>0时f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)>0
f(x)在[-9,9]上是减函数
f(x)的最大值为f(-9),最小值为f(9).
f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12 
f(x)在区间[-9,9]上的最大值为12,最小值为-12.
举一反三
已知函数f(x)=loga–(2a)2]对任意x∈[,+∞]都有意义,则实数a的取值范围是(    )
A.(0,B.(0,)C.[,1D. (,

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函数f(x)的定义域为R,且x≠1,已知f(x+1)为奇函数,当x<1时,f(x)=2x2x+1,那么当x>1时,f(x)的递减区间是(    )
A.[,+∞B.(1,C.[,+∞D. (1,

题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数对于任意实数满足条件,若,则=             
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知定义域为R上的函数单调递增,如果的值
A.可能为0B.恒大于0C.恒小于0D.可正可负

题型:单选题难度:一般| 查看答案
奇函数满足,当时,
(  )
A.B.C.D.

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