设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=－4. (1)求证: f(x)

题型：解答题难度：一般来源：不详

　设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=－4.
(1)求证: f(x)为奇函数；
(2)在区间［－9，9］上，求f(x)的最值.

答案

(1) 证明略(2) f(x)在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12.

解析

 令x=y=0,得f(0)=0
令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)
∴f(x)是奇函数
(2）解: 1°,任取实数x₁、x₂∈［－9,9］且x₁＜x₂,这时，x₂－x₁>0,
f(x₁)－f(x₂)=f［(x₁－x₂)+x₂］－f(x₂)=f(x₁－x₂)+f(x₂)－f(x₁)=－f(x₂－x₁)
因为x>0时f(x)＜0,∴f(x₁)－f(x₂)>0
∴f(x)在［－9，9］上是减函数
故f(x)的最大值为f(－9),最小值为f(9).
而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12 
∴f(x)在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12.