如果函数f（x）满足：对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=2，则f(2)f(1)+f(4)f(2)+f(6)f(3)+f(8)f(

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如果函数f（x）满足：对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=2，则f(2)f(1)+f(4)f(2)+f(6)f(3)+f(8)f(

题型：填空题难度：一般来源：不详
如果函数f（x）满足：对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y）且f（1）=2，则
f(2)
f(1)
+
f(4)
f(2)
+
f(6)
f(3)
+
f(8)
f(4)
+…+
f(20)
f(10)
=______．
答案
由f（x+y）=f（x）•f（y）得f（2x）=f（x）2⇒
f(2x)
f(x)
=f（x）．
∵f（x+y）=f（x）•f（y）⇒f（x+1）=f（x）•f（2）=2f（x）⇒
f(x+1)
f(x)
=2，
所以数列{f（n）}是以2为首项，2为公比的等比数列，故f（n）=2×2n-1=2n．
∴
f(2n)
f(n)
=f（n）=2n．
则
f(2)
f(1)
+
f(4)
f(2)
+
f(6)
f(3)
+
f(8)
f(4)
+…+
f(20)
f(10)
=21+22+23+…+210=
2(1-210)
1-2
=211-2=2046．
故答案为：2046．
举一反三
设f（x）=





x2|x|≥1
x|x＜1
，若f（g（x））值域为[0，+∞），则g（x）的值域可能为（　　）
A．（-∞，-1）∪[1，+∞）B．（-∞，-1]∪（0，+∞）C．[0，+∞）D．[1，+∞）
题型：单选题难度：简单| 查看答案
设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求f（0）；
（2）证明f（x）是奇函数；
（3）试问在x∈[-3，3]时f（x）是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；
（4）解不等式
1
2
f(x2)-f(x)＞
1
2
f(3x)．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
已知函数f（x）满足：f（p+q）=f（p）•f（q），f（1）=2，则：
f(2)
f(1)
+
f(4)
f(3)
+
f(6)
f(5)
+
f(8)
f(7)
+…+
f(2014)
f(2013)
=______．
题型：填空题难度：一般| 查看答案
已知函数f(x)=





1，x＜0
x2+1，x≥0
，则不等式f（1-x2）=f（2x）的解集是（　　）
A．{x|x≤-1}B．{-1+


2
}
C．{x|x≤-1或x=-1+


2
}		D．{x|x＜-1或x=-1+


2
}
题型：单选题难度：简单| 查看答案
已知奇函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-
2
3
．
（1）求证：f（x）是R上的减函数．
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
（3）若f（x）+f（x-3）≤-2，求实数x的取值范围．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
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