定义在（-1，1）上的函数f（x）满足（ⅰ）对任意x、y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（x+y1+xy）（ⅱ）当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，试研

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足
（ⅰ）对任意x、y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）
（ⅱ）当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，试研究f（

1

5

）+f（

1

11

）+…+f（

1

n2+3n+1

）与f（

1

2

）的关系．

答案

在（ⅰ）中，令x=y=0，可得到f（0）+f（0）=f（0），可得f（0）=0，
令x=-y，可得f（x）+f（-x）=f（0），
则f（x）+f（-x）=0，
故f（x）是奇函数；
又由（ii），当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，
当x∈（0，1）时，则-x∈（-1，0）
f（x）=-f（-x）＜0，
即当x∈（0，1）时，f（x）＜0，
f（

1

n2+3n+1

）=f（

1

n+1

）+f（-

1

n+2

）=f（

1

n+1

）-f（

1

n+2

）
则f（

1

5

）+f（

1

11

）+…+f（

1

n2+3n+1

）=[f（

1

2

）-f（

1

3

）]+[f（

1

3

）-f（

1

4

）]+…+[f（

1

n+1

）-f（

1

n+2

）]
=f（

1

2

）-f（

1

n+2

）；
∵0＜

1

n+2

＜1，
∴f（

1

n+2

）＜0；
则f（

1

2

）-f（

1

n+2

）＞f（

1

2

），
故f（

1

5

）+f（

1

11

）+…+f（

1

n2+3n+1

）＞f（

1

2

）．