已知a为实数，且0＜a＜1，f（x）是定义在[0，1]上的函数，满足f（0）=0，f（1）=1，对所有x≤y，均有f（x+y2）=（1-a）f（x）+af（y）

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已知a为实数，且0＜a＜1，f（x）是定义在[0，1]上的函数，满足f（0）=0，f（1）=1，对所有x≤y，均有f（x+y2）=（1-a）f（x）+af（y）

题型：填空题难度：一般来源：不详
已知a为实数，且0＜a＜1，f（x）是定义在[0，1]上的函数，满足f（0）=0，f（1）=1，对所有x≤y，均有f（
x+y
2
）=（1-a）f（x）+af（y），则a的值是______．
答案
由f（
x+y
2
）=（1-a）f（x）+af（y），
令x=0，y=1，可得f（
1
2
）=（1-a）f（0）+af（1）=a，
令x=0，y=
1
2
，可得f（
1
4
）=（1-a）f（0）+af（
1
2
）=a2，
令x=
1
2
，y=1，可得f（
3
4
）=（1-a）f（
1
2
）+af（1）=2a-a2，
令x=
1
4
，y=
3
4
，可得f（
1
2
）=（1-a）f（
1
4
）+af（
3
4
）
∴a=（1-a）a2+a（2a-a2）
∴a（2a-1）（a-1）=0
∵0＜a＜1，
∴a=
1
2

故答案为：
1
2
举一反三
国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如下表：
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运送距离x （km）0＜x≤500500＜x≤10001000＜x≤15001500＜x≤2000…
邮资y （元）5.006.007.008.00…
函数f（x）的定义域为R，并满足以下条件：①对任意x∈R，有f（x）＞0；②对任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]y；③f（
1
3
）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）在R上是单调增函数；
（3）若a＞b＞c＞0且b2=ac，求证：f（a）+f（c）＞2f（b）．
已知函数f(x)=





log2x，x＞0
2x，
 x≤0
则满足不等式f（f（x））＞1的x的取值范围是______．
已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B(
1
2
，1)、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为______．
若函数f（x）具有性质：f(
1
x
)=-f(x)，则称f（x）是满足“倒负”变换的函数．下列四个函数：
①f（x）=logax（a＞0且a≠1）；        
②f（x）=ax（a＞0且a≠1）；
③y=x-
1
x
；                      
 ④f(x)=





x   ，(0＜x＜1)
0，(x=1)
-
1
x
  ，(x＞1)
．
其中，满足“倒负”变换的所有函数的序号是______．