已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B(12，1)、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为____

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已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B(12，1)、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为____

题型：填空题难度：一般来源：上海
已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B(
1
2
，1)、C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为______．
答案
依题意，当0≤x≤
1
2
时，f（x）=2x，当
1
2
＜x≤1时，f（x）=-2x+2
∴f（x）=





2x       x∈[0，
1
2
]
-2x+2  x∈(
1
2
，1]

∴y=xf（x）=





2x 2      x∈[0，
1
2
]
-2x 2+2x  x∈(
1
2
，1]

y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S=
∫
1
2
0
2x2dx+
∫1
1
2
(- 2x2+2x) dx=
2
3
x3
|
1
2
0
+（-
2
3
x3+x2）
|1
1
2
=
1
12
+
1
6
=
1
4

故答案为
1
4
举一反三
若函数f（x）具有性质：f(
1
x
)=-f(x)，则称f（x）是满足“倒负”变换的函数．下列四个函数：
①f（x）=logax（a＞0且a≠1）；        
②f（x）=ax（a＞0且a≠1）；
③y=x-
1
x
；                      
 ④f(x)=





x   ，(0＜x＜1)
0，(x=1)
-
1
x
  ，(x＞1)
．
其中，满足“倒负”变换的所有函数的序号是______．
题型：填空题难度：一般| 查看答案
（理）设α∈（0，π），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（
x+y
2
）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）试用α表示f（
1
2
），并在f（
1
2
）时求出α的值；
（2）试用α表示f（
1
4
），并求出α的值；
（3）n∈N时，an=
1
2n
，求f（an），并猜测x∈[0，1]时，f（x）的表达式．
（文）已知向量


OA
=(3，-4)，


OB
=(6，-3)，


OC
=（5-m，-3-m）
（1）若点A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件．
（2）若△ABC为直角三角形，求m的取值范围．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
函数f(x)=





x2+2x-3(x≤0)
-2+lnx   (x＞0)
的零点个数是______个．
题型：填空题难度：一般| 查看答案
定义符号函数sgnx=





1        (x＞0)
0        (x=0)
-1      (x＜0).
当x∈R时，解不等式（x+2）＞（2x-1）sgnx．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
已知f（x+y）=f（x）•f（y）对任意的实数x、y都成立，且f（1）=2，则
f(1)
f(0)
+
f(2)
f(1)
+
f(3)
f(2)
+…+
f(2005)
f(2004)
+
f(2006)
f(2005)
=______．
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