f(x)=cosx是R上的“平缓函数,f(x)=x2-x,f(x)=()x,f(x)=3x-2不是区间R的“平缓函数”; 对于选项A,设φ(x)=x-cosx,则φ"(x)=1+sinx≥0,则φ(x)=x-cosx是实数集R上的增函数, 不妨设x1<x2,则φ(x1)<φ(x2),即x1-cosx1<x2-cosx2, 则cosx2-cosx1<x2-x1 ① 又y=x+cosx也是R上的增函数,则x1+cosx1<x2+cosx2, 即cosx2-cosx1>x1-x2 ② 由①、②得-(x2-x1)<cosx2-cosx1<x2-x1 因此|cosx2-cosx1|<|x2-x1|,对x1<x2的实数都成立, 当x1>x2时,同理有|cosx2-cosx1|<|x2-x1|成立 又当x1=x2时,等式|cosx2-cosx1|=|x2-x1|=0, 故对任意的实数x1,x2∈R,均有|cosx2-cosx1|≤|x2-x1| 因此 sinx是R上的“平缓函数; 对于选项B,由于|f(x1)-f(x2)|=|(x1-x2)(x1+x2-1)| 取x1=3,x2=1,则|f(x1)-f(x2)|=4>|x1-x2|, 因此,f(x)=x2-x不是区间R的“平缓函数”; 对于选项C,由于|f(x1)-f(x2)|=|()x1-()x2| 取x1=-3,x2=-2,则|f(x1)-f(x2)|=4>|x1-x2|, 因此,f(x)=()x不是区间R的“平缓函数”; 对于选项D,由于|f(x1)-f(x2)|=|3(x1-x2)| 取x1=3,x2=1,则|f(x1)-f(x2)|=6>|x1-x2|, 因此,f(x)=3x-2不是区间R的“平缓函数”. 故选A. |