(Ⅰ)∵f′(x)=-a=a()(x>0), ∴(1)当a>0时,令f′(x)>0时,解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)递增; 令f′(x)<0时,解得x>1,所以f(x)在(1,+∞)递减. 当a<0时,f′(x)=-a(),令f′(x)>0时,解得x>1,所以f(x)在(1,+∞)递增; 令f′(x)<0时,解得0<x<1,所以f(x)在(0,1)递减; (Ⅱ)因为函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°, 所以f′(2)=1,所以a=-2,f′(x)=-+2, g(x)=x3+x2[+f′(x)]=x3+x2[+2-]=x3+(2+)•x2-2x, ∴g′(x)=3x2+(4+m)x-2, 因为对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2[+f′(x)]在区间[t,3]上总存在极值, 所以只需 g′(2)<0 g′(3)>0,解得-<m<-9; (Ⅲ)∴令F(x)=h(x)-f(x)=(p-2)x--3-2lnx+2x+3=px---2lnx, ①当p≤0时,由x∈[1,e]得px-≤0,--2lnx<0. 所以,在[1,e]上不存在x0,使得h(x0)>f(x0)成立; ②当p>0时,F′(x)=, ∵x∈[1,e], ∴2e-2x≥0,px2+p>0,F′(x)>0在[1,e]上恒成立,故F(x)在[1,e]上单调递增. ∴F(x)max=F(e)=pe--4. 故只要pe--4>0,解得p>.所以p的取值范围是[,+∞). |