已知函数f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x，（其中a＞0），点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））从左到右依次是函数y
题型：韶关三模难度：来源：
已知函数f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x，（其中a＞0），点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x2=x1+x3．
（Ⅰ）证明：函数f（x）在（-∞，+∞）上是减函数；
（Ⅱ）求证：△ABC是钝角三角形；
（Ⅲ）试问△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由． |
答案
（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x，∴f′(x)=-(a+1)=＜0恒成立，
所以函数f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数．（3分）
（Ⅱ）证明：据题意A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））且x1＜x2＜x3，
由（Ⅰ）知f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=（4分）
可得A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三点不共线
（反证法：否则2ex2=ex1+ex3≥2=2ex2，得x1=x3）
∴=(x1-x2，f(x1)-f(x2))，=(x3-x2，f(x3)-f(x2)
∴•=(x1-x2)(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)][f(x3)-f(x2)]（6分）
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴•＜0，∴∠B∈(，π)
即△ABC是钝角三角形（8分）
（Ⅲ）假设△ABC为等腰三角形，则只能是||=||
即：（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2∵x2-x1=x3-x2∴[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2
即2f（x2）=f（x1）+f（x3）⇔2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-(a+1)(x1+x3)⇔2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-2(a+1)x2⇔2ln(1+ex2)=ln(1+ex1)(1+ex3)⇔(1+ex2)2=(1+ex1)(1+ex3)⇔e2x2+2ex2=ex1+x3+ex1+ex3⇔2ex2=ex1+ex3①（11分）
而事实上，ex1+ex3≥2=2ex2②
由于ex1＜ex3，故（2）式等号不成立．这与（1）式矛盾．
所以△ABC不可能为等腰三角形．（13分） |
举一反三
函数f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式＞恒成立，求实数m的取值范围． |
| 已知向量=(x，1)，=(x，tx+2)．若函数f(x)=•在区间[-1，1]上不是单调函数，则实数t的取值范围是______． |
| 已知函数f（x）=alnx+ex（a＞0），若f（3x）＜f（x2+2），则实数x的取值范围是______． |
已知函数f（x）=x3-3x2-9x+11．
（1）写出函数f（x）的递减区间；
（2）讨论函数f（x）的极大值或极小值，如有试写出极值．（要列表求） |
已知向量=(ex，lnx+k)，=(1，f(x))，∥（k为常数，e是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xexf′（x）．
（Ⅰ）求k的值及F（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知函数g（x）=-x2+2ax（a为正实数），若对于任意x2∈[0，1]，总存在x1∈（0，+∞），使得g（x2）＜F（x1），求实数a的取值范围． |
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