(I)由已知可得:f(x)=, ∴f′(x)=, 由已知,f′(1)==0, ∴k=1…(2分) ∴F(x)=xexf"(x)=x(-lnx-1)=1-xlnx-x, 所以F"(x)=-lnx-2…(3分) 由F′(x)=-lnx-2≥0⇒0<x≤, 由F′(x)=-lnx-2≤0⇒x≥ ∴F(x)的增区间为(0,],减区间为[,+∞)…(5分) (II)∵对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1), ∴g(x)max<F(x)max…(6分) 由(I)知,当x=时,F(x)取得最大值F()=1+.…(8分) 对于g(x)=-x2+2ax,其对称轴为x=a 当0<a≤1时,g(x)max=g(a)=a2, ∴a2<1+,从而0<a≤1…(10分) 当a>1时,g(x)max=g(1)=2a-1, ∴2a-1<1+,从而1<a<1+…(12分) 综上可知:0<a<1+…(13分) |