已知函数f(x)=ax-1x-(a+1)lnx(a<1).(Ⅰ)讨论f(x)的单调区间;(Ⅱ)若0<a<1e,试证对区间[1,e]上的任意x1、x2,总有成立|

已知函数f(x)=ax-1x-(a+1)lnx(a<1).(Ⅰ)讨论f(x)的单调区间;(Ⅱ)若0<a<1e,试证对区间[1,e]上的任意x1、x2,总有成立|

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ax-
1
x
-(a+1)lnx(a<1).
(Ⅰ)讨论f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若0<a<
1
e
,试证对区间[1,e]上的任意x1、x2,总有成立|f(x1)-f(x2)|
1
e
答案
(Ⅰ)f′(x)=
ax-a-1
x
,x>0
∴当0<a<1时,令f′(x)>0得x>1+
1
a
,令f′(x)<0得0<x<1+
1
a

此时f(x)的增区间为(1+
1
a
,+∞),减区间为(0,1+
1
a
);
当a=0时,f′(x)=-
1
x
<0,f(x)在定义域上递减;
当a<0时,令f′(x)>0得0<x<1+
1
a
,令f′(x)<0得x>1+
1
a

此时f(x)的减区间为(1+
1
a
,+∞),增区间为(0,1+
1
a
);
(Ⅱ)证明:由已知,a∈(0,1),由(Ⅰ)知,此时f(x)的减区间为(0,1+
1
a
),
1
a
∈(e,+∞),1+
1
a
>e
∴f(x)在[1,e]上递减,最大值为f(1)=a-
1
a
,最小值为f(e)=ae-
1
a
-a-1,
所以对任意x1、x2,总有|f(x1)-f(x2)|<f(1)-f(e)=(2-e)a+1<(2-e)•
1
e
+1=
2
e

即|f(x1)-f(x2)|<
2
e
举一反三
设数列{an}满足a1=0,4an+1=4an+2


4an+1
+1
,令bn=


4an+1

(1)试判断数列{bn}是否为等差数列?并求数列{bn}的通项公式;
(2)令Tn=
b1×b3×b5×…×b(2n-1)
b2×b4×b6×…b2n
,是否存在实数a,使得不等式Tn


bn+1


2
log2(a+1)
对一切n∈N*都成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(3)比较bnbn+1bn+1bn的大小.
题型:马鞍山模拟难度:| 查看答案
已知:a∈R,f(x)=(x2-4)(x-a).
(1)设x=-1是f(x)的一个极值点.求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值;
(2)若f(x)在区间[-1,1]上不是单调函数,求a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
设 f(x)=x3-6x+5求函数f(x)的单调区间及其极值.
题型:不详难度:| 查看答案
对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有(  )
A.f(x)≥f(a)B.f(x)≤f(a)C.f(x)>f(a)D.f(x)<f(a)
题型:莒县模拟难度:| 查看答案
已知函数y=f (x),x∈[0,2π]的导函数y=f"(x)的图象,如图所示,则y=f (x) 的单调增区间为 ______.

魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
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