已知:a∈R,f(x)=(x2-4)(x-a).(1)设x=-1是f(x)的一个极值点.求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值;(2)若f(x)在区间[
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已知:a∈R,f(x)=(x2-4)(x-a). (1)设x=-1是f(x)的一个极值点.求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值; (2)若f(x)在区间[-1,1]上不是单调函数,求a的取值范围. |
答案
(1)f(x)=x3-ax2-4x+4a ∴f"(x)=3x2-2ax-4 又f′(-1)=0,∴a=(2分) ∴f(x)=(x2-4)(x-),f′(x)=3x2-x-4 由f′(x)=0,得x=-1或x=.(4分) 由f()=-,f(-1)=,f(2)=0,f(-2)=0 得f(x)在[-2,2]上的最大值为,最小值为-(7分) (2)由(1)知f"(x)=3x2-2ax-4, 先考虑f(x)在[-1,1]是单调函数 则f"(x)的符号在(-1,1)上是确定的 ∵f"(0)=-4<0 ∴此时f"(x)<0对于x∈(-1,1)一恒成立(10分) ∴由二次函数性质,知 | f′(-1)=2a-1≤0 | f′(1)=-1-2a≤0 |
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得:-≤a≤.(13分) ∴当f(x)在[-1,1]上不是单调函数时,a的取值范围是:a<-或a>.(15分) |
举一反三
设 f(x)=x3-6x+5求函数f(x)的单调区间及其极值. |
对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-a)f′(x)≥0,则必有( )A.f(x)≥f(a) | B.f(x)≤f(a) | C.f(x)>f(a) | D.f(x)<f(a) |
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已知函数y=f (x),x∈[0,2π]的导函数y=f"(x)的图象,如图所示,则y=f (x) 的单调增区间为 ______.
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已知函数f(x)=ax2-x-lnx(a∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当a=1时,证明:(x-1)(x2lnx-f(x))≥0. |
设a∈R,函数f(x)=ax3-3x2. (1)若x=2是函数y=f(x)的极值点,求实数a的值; (2)若函数g(x)=exf(x)在[0,2]上是单调减函数,求实数a的取值范围. |
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