已知函数f(x)=ax2-x-lnx(a∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当a=1时,证明:(x-1)(x2lnx-f(x))≥0.
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已知函数f(x)=ax2-x-lnx(a∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当a=1时,证明:(x-1)(x2lnx-f(x))≥0. |
答案
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f"(x)= 令g(x)=2ax2-x-1,x∈(0,+∞) (1)当a≤0时,g(x)<0,此时f"(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上为减函数; (2)当a>0时,方程2ax2-x-1=0有两根x1=,x2=, 且x1>0,x2<0,此时当x∈(0,)时,f"(x)<0, 当x∈(,+∞)时,f"(x)>0, 故f(x)在(0,)为减函数,在(,+∞)为增函数; 所以当a≤0时,函数f(x)的递减区间为(0,+∞), 当a>0时,函数f(x)的递增区间为(,+∞),递减区间为(0,). (Ⅱ)当a=1时,f(x)=x2-x-lnx,x2lnx-f(x)=x2lnx+x+lnx-x2, 由(Ⅰ)知f(x)在(0,1)为减函数,在(1,+∞)为增函数, 所以f(1)=0为f(x)的最小值,即f(x)≥0,所以x+lnx-x2≤0, 故当0<x≤1时,x2lnx-f(x)≤0,所以(x-1)(x2lnx-f(x))≥0, 当x>1时,x2lnx-f(x)=lnx+x2(lnx+-1), 令φ(x)=lnx+-1,则 φ"(x)=->0,所以φ(x)在(1,+∞)为增函数,可得出φ(x)>0, 又因lnx>0,x2>0,所以lnx+x2(lnx+-1)>0, 故当x>1时,(x-1)(x2lnx-f(x))>0, 综上所述,当a=1时,(x-1)(x2lnx-f(x))≥0. |
举一反三
设a∈R,函数f(x)=ax3-3x2. (1)若x=2是函数y=f(x)的极值点,求实数a的值; (2)若函数g(x)=exf(x)在[0,2]上是单调减函数,求实数a的取值范围. |
定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足:函数f(x)的图象关于原点对称且过点(3,-6),函数f(x)在点x1、x2处取得极值,且|x1-x2|=4. (Ⅰ)求函数f(x)的表达式; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)求函数f(x)过点P(1,-8)的切线方程. |
已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1 (1)设a=2,求f(x)的单调增区间; (2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围. |
函数f(x)=(x-2)•ex的单调递增区间是( )A.(-∞,1) | B.(0,2) | C.(1,+∞) | D.(2,+∞) |
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已知函数f(x)=x3-3ax2-bx,其中a,b为实数, (1)若f(x)在x=1处取得的极值为2,求a,b的值; (2)若f(x)在区间[-1,2]上为减函数,且b=9a,求a的取值范围. |
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