定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：函数f（x）的图象关于原点对称且过点（3，-6），函数f（x）在点x1、x2处取得极值，且|x1-x2|
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定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：函数f（x）的图象关于原点对称且过点（3，-6），函数f（x）在点x1、x2处取得极值，且|x1-x2|=4．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数f（x）过点P（1，-8）的切线方程． |
答案
（I）由题意f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，解之得b=d=0
所以f（x）=ax3+cx，又f（3）=27a+3c=-6 ①
由f′（x）=3ax2+c=0，得x1=-，x2=
即=2，c=-12a ②
由①②得a=，c=-8
故f（x）=x3-8x
（II）由（I）知，f′（x）=2x2-8，
当f′（x）＞0时，解得x＜-2或x＞2；
当f′（x）＜0时，解得-2＜x＜2．
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞），单调减区间为（-2，2）．
（III）设切点Q（x0，y0），则点Q处的切线方程为：y-y0=(-8)(x-x0) ③
注意到y0=-8x0及点P（1，-8）在此切线上，
有-8-+8x0=(-8)(1-x0)，
整理得：2-3=0，即x0=0或x0=
代入方程③得8x+y=0或7x+2y+9=0为所求． |
举一反三
已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1
（1）设a=2，求f（x）的单调增区间；
（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围． |
函数f（x）=（x-2）•ex的单调递增区间是（ ）| A．（-∞，1） | B．（0，2） | C．（1，+∞） | D．（2，+∞） |
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已知函数f（x）=x3-3ax2-bx，其中a，b为实数，
（1）若f（x）在x=1处取得的极值为2，求a，b的值；
（2）若f（x）在区间[-1，2]上为减函数，且b=9a，求a的取值范围． |
已知f（x）=x3-x2-2x+c，常数c是实数．
（I）当f（x）取得极小值时，求实数x的值；
（II）当-1≤x≤2时，求f（x）的最大值．
（II）当-1≤x≤2时，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围． |
已知函数f（x）=lnx-（a∈R）
（1）讨论f（x）在[1，e]上的单调性；
（2）若f（x）＜x在[1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围． |
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