(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+=. ①当a≥-1,因为1≤x≤e,所以x+a≥0,此时f"(x)≥0,所以f(x)在[1,e]上为增函数. ②当a≤-e时,因为1≤x≤e,所以x+a≥0,此时f"(x)≤0,此时f(x)在[1,e]上为减函数. ③当-e<a<-1时,令f"(x)=0得x=-a.于是当1≤x≤-a时,f"(x)≤0,所以函数f(x)在[1,-a]上为减函数. 当-a≤x≤e时,f"(x)≥0,所以函数f(x)在[-a,e]上为增函数. 综上可知,当a≥-1时,f(x)在[1,e]上为增函数.当a≤-e时,f(x)在[1,e]上为减函数. 当-e<a<-1时,f(x)在[1,-a]上为减函数,在[-a,e]上为增函数. (Ⅱ)由f(x)<x,得lnx-<x,因为x≥1,所以a>xlnx-x2 令g(x)=xlnx-x2,要使a>xlnx-x2 在[1,+∞)上恒成立,只需a>gmax(x)即可. g"(x)=lnx-2x+1=lnx-(2x-1),分别作出函数y=lnx和y=2x-1的图象如图.由图象可知当x≥1时,lnx<2x-1. 此时g"(x)<0,所以g(x)在[1,+∞)单调递减,所以g(x)的最大值为g(1)=-1,所以a>-1,即a的取值范围是(-1,+∞). |