(I)∵f(x)=x3+ax2+b,所以f"(x)=3x2+2ax,由f"(x)=3x2+2ax=0,解得x=0或x=-, 因为 a>0,所以x=-<0, 当f"(x)>0时,解得x<-或x>0,此时函数单调递增. 当f"(x)0时,解得-<x<0,此时函数单调递减. 所以当x=-时,函数取得极大值,当x=0时,函数取得极小值. 即f(-)=-(-)3+a(-)2+b=5,f(0)=b=1, 解得a=3,b=1. ∴所求的函数解析式是f(x)=-x3+3x2+1.…(6分) (II)由上问知当x=0或x=-时,f"(x)=0. ①当a>0时,x=-<0.函数f(x)在(-∞,-)和(0,+∞)上是单调递增函数,在(-,0)上是单调递减函数. ∴若f(x)在(-∞,-)上是增函数,则必有-≤-,解得0<a≤. ②当a<0时,->0.函数f(x)在(-∞,0)和(-,+∞)上是单调递增函数, 在(0,-)上是单调递减函数.显然满足f(x)在(-∞,-)上是增函数. ③当a=0时,-=0.函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数, 也满足f(x)在(-∞,-)上是增函数. ∴综合上述三种情况,所求a的取值范围为(-∞,].…(12分) |