(1)∵函数f(x)=lnx+,其中a为大于零的常数, ∴f′(x)=-=. ∵函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增, ∴当x≥1时,f′(x)≥0恒成立,即≤x(a>0),x∈[1,+∞)恒成立⇔≤[x]min,(a>0)x∈[1,+∞)⇔≤1(a>0). 解得a≥1.即为所求的取值范围. (2)(i)由(1)可知:当a≥1时,f(x)在区间[1,2]上单调递增, ∴当x=1时,函数f(x)取得最小值,且f(1)=0. (ii)当0<a≤时,≥2,∴当x∈[1,2]时,f′(x)≤0,∴函数f(x)在区间[1,2]上单调递减, ∴当x=2时,函数f(x)取得最小值,且f(2)=ln2-. (iii)当<a<1时,1<<2. 令f′(x)=0,则x=. 当1<x<时,f′(x)<0;当<x<2时,f′(x)>0. ∴当x=时,函数f(x)取得极小值,因为在区间[1,2]内只有一个极小值,所以也即最小值,∴最小值为f()=1--lna. (3)由(1)可知:令a=1,则函数f(x)=lnx+在区间[1,+∞)上单调递增. 再令x=,f(1+)>f(1),而f(1+)=ln-,f(1)=0, ∴ln(n+1)-lnn>. ∴lnn=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+[lnn-ln(n-1)]>++…+, 即lnn>++…. |