(1)f′(x)=-3x2+2ax.根据题意f′(1)=tan=1, ∴-3+2a=1,即a=2.∴f′(x)=-3x2+4x=-3x(x-). 当f′(x)>0,得x(x-)<0,即0<x<;当f′(x)<0,得x(x-)>0,即x<0或x>. ∴f′(x)的单调递增区间是(0,),单调递减区间是(-∞,0)∪(,+∞); (2)f′(x)=-3x(x-). ①若a≤0,当x>0时,f′(x)<0,从而f(x)在(0,+∞)上是减函数, 又f(0)=-4,则当x>0时,f(x)<-4. ∴当a≤0时,不存在x0>0,使f(x0)>0; ②当a>0,则当0<x<时,f′(x)>0,当x>时,f′(x)<0. 从而f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减. ∴当x∈(0,+∞)时,f(x)max=f()=-+-4=-4. 据题意,-4>0,即a3>27,∴a>3. 故a的取值范围是(3,+∞). |