已知函数f(x)=x3-ax2-3x(1)当a=2时,求f(x)的零点;(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的[1,a]上的最小值和最大值;(3)若f(
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已知函数f(x)=x3-ax2-3x (1)当a=2时,求f(x)的零点; (2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的[1,a]上的最小值和最大值; (3)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围. |
答案
(1)f(x)=x3-2x2-3x=x(x-3)(x+1) 则f(x)的零点为0,3,-1. (2)f′(x)=3x2-2ax-3 ∵x=3是f(x)的极值点,得到f′(3)=0, ∴a=4 则函数f(x)=x3-4x2-3x 即f′(x)=3x2-8x-3=(3x+1)(x-3) ∴f(x)在[,3]递减,[3,+∞)递增 f(1)=-6,f(3)=-18,f(4)=-12 ∴最小值为-18,最大值为-6 (3)f′(x)=3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)恒成立. ∵x≥1.∴a≤(x-), 当x≥1时,由于g(x)=(x-)是增函数,g(x)min=(1-1)=0. ∴a≤0. |
举一反三
设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)+xf′(x)>0.则不等式f()>f()的解集为______. |
已知函数f(x)=x3+ax2+b(a∈R,b∈R) (Ⅰ)若 a>0,且f(x)的极大值为5,极小值1,求f(x)的解析式; (Ⅱ)若f(x)在(-∞,-)上是增函数,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=mx3-(2+)x2+4x+1,g(x)=mx+5 (Ⅰ)当m≥4时,求函数f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)是否存在m<0,使得对任意的x1,x2∈[2,3]都有f(x1)-g(x2)≤1?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由. |
设x1,x2是函数f(x)=x3+x2-a2x(a>0)的两个极值点,且|x1|+|x2|=2. (Ⅰ)证明:0<a≤1; (Ⅱ)证明:|b|≤. |
已知f(x)=x3-2ax2-3x(a∈R). (Ⅰ)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求实数a的取值范围; (Ⅱ)若y=f(x)的极大值点与极小值点之差为2a-3,试求实数a的值. |
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