已知f(x)=x3-12x2-2x+c,常数c是实数.(I)当f(x)取得极小值时,求实数x的值;(II)当-1≤x≤2时,求f(x)的最大值.(II)当-1≤

已知f(x)=x3-12x2-2x+c,常数c是实数.(I)当f(x)取得极小值时,求实数x的值;(II)当-1≤x≤2时,求f(x)的最大值.(II)当-1≤

题型:不详难度:来源:
已知f(x)=x3-
1
2
x2-2x+c,常数c是实数.
(I)当f(x)取得极小值时,求实数x的值;
(II)当-1≤x≤2时,求f(x)的最大值.
(II)当-1≤x≤2时,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.
答案
(I)∵f(x)=x3-
1
2
x2-2x+c
∴f′(x)=3x2-x-2
∴方程f′(x)=3x2-x-2=0的两个根为-
2
3
和1,
∵当-
2
3
<x<1时,f′(x)<0

当x>1时,f′(x)>0,
∴当x=1时,f(x)取得极小值.
 (II)由(I)知:f′(x)=3x2-x-2
∵当x∈[-1,-
2
3
)时,f′(x)>0,
当x∈(-
2
3
,1)
时,f′(x)<0,
当x∈(1,2]时,f′(x)>0,
∴当x∈[-1,-
2
3
)时,f(x)是增函数.
当x∈(-
2
3
,1)
时,f(x)是减函数.
当x∈(1,2]时,f(x)是增函数.
所以当-≤x≤2时,f(x)的最大值只可能在x=-
2
3
或者在x=2处取到.
又因为f(-
2
3
)=
22
27
+c
,f(2)=2+c
所以f(2)>f(-
2
3

所以当-1≤x≤2时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.
(III)当-1≤x≤2时,f(x)<c2恒成立的充要条件是f(x)最大值<c2
所以f(2)<c2即c2>2+c,解得c<-1或c>2.
所以c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).
举一反三
已知函数f(x)=lnx-
a
x
(a∈R)
(1)讨论f(x)在[1,e]上的单调性;
(2)若f(x)<x在[1,+∞)上恒成立,试求a的取值范围.
题型:淄博一模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lnx+
1-x
ax
,其中a
为大于零的常数.
(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)内调递增,求a的取值范围;
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值;
(3)求证:对于任意的n∈N*,且n>1时,都有lnn>
1
2
+
1
3
+…+
1
n
成立.
题型:不详难度:| 查看答案
设a为实常数,函数f(x)=-x3+ax2-4.
(1)若函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为
π
4
,求函数f(x)的单调区间;
(2)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,求a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3-ax2-3x
(1)当a=2时,求f(x)的零点;
(2)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的[1,a]上的最小值和最大值;
(3)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)+xf′(x)>0.则不等式f(


x+1
)>


x-1
f(


x2-1
)
的解集为______.
题型:盐城二模难度:| 查看答案
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