(1)函数定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞), 因为f′(x)=2[(x+1)-]=, 由f′(x)>0得-2<x<-1或x>0,由f′(x)<0得x<-2或-1<x<0. ∴函数的递增区间是(-2,-1),(0,+∞),递减区间是(-∞,-2),(-1,0). (2)由f′(x)==0得x=0或x=-2.由(1)知,f(x)在[-1,0]上递减,在[0,e-1]上递增. 又f(-1)=+2,f(e-1)=e2-2, ∴e2-2--2=>0 ∴e2-2>+2.所以x∈[-1,e-1]时,[f(x)]max=e2-2.故m>e2-2时,不等式f(x)<m恒成立. (3)方程f(x)=x2+x+a,即x-a+1-ln(1+x)2=0,记g(x)=x-a+1-ln(1+x)2. 所以g′(x)=1-=. 由g′(x)>0,得x<-1或x>1,由g′(x)<0,得-1<x<1. 所以g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增, 为使f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰好有两个相异的实根,只须g(x)=0在[0,1]和(1,2]上各有一个实根,于是有 ,∴ | -a+1≥0 | 1-a+1-2ln2<0 | 2-a+1-2ln3≥0 |
| | , ∴2-2ln2<a≤3-2ln3. |