已知f(x)=axax+a．（1）求f（x）+f（1-x）及f(110)+f(210)+…+f(910)=？（2）是否存在正整数a，使af(n)f(1-n)＞n

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已知f(x)=axax+a．（1）求f（x）+f（1-x）及f(110)+f(210)+…+f(910)=？（2）是否存在正整数a，使af(n)f(1-n)＞n

题型：解答题难度：一般来源：不详
已知f(x)=
ax
ax+


a
．
（1）求f（x）+f（1-x）及f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)=？
（2）是否存在正整数a，使


a
f(n)
f(1-n)
＞n2对一切n∈N都成立．
答案
（1）f(x)=
ax
ax+


a

∴f（x）+f（1-x）=
ax
ax+


a
+
a1-x
a(1-x)+


a
=1
∴2[f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)]=9
∴f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)=
9
2

（2）由（1）得
f（1-n）=1-f（n）=


a 
an+


a

∴


a
f(n)
f(1-n)
=


a
•
an
an+


a


a 
an+


a
=an
则原不等式可化为：an＞n2
∵当a≥3时，an＞n2恒成立，
故存在正整数a≥3，使


a
f(n)
f(1-n)
＞n2对一切n∈N都成立．
举一反三
已知定义域为R，函数f（x）满足f（a+b）=f（a）•f（b）（a，b∈R），且f（x）＞0，若f(1)=
1
2
，则f（-2）等于（　　）
A．
1
2
B．
1
4
C．2D．4
题型：单选题难度：简单| 查看答案
如果f（x）=





x2+1   (x≤0) 
-2x       (x＞0)
那么f（f（1））=______．
题型：填空题难度：简单| 查看答案
定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)；②f（x）在（-1，1）上是单调递增函数，f(
1
2
)=1．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：f（x）为奇函数；
（3）解不等式f（2x-1）＜1．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
定义R在上的函数f（x）为，对任意实数m，n，恒有f（m）•f（n）=f（m+n），且f（0）≠0，当x＞0时，0＜f（x）＜1则：（1）f（0）=______．（2）当x＜0时，1-f（x）______0．（填≤，≥，＜，＞）
题型：填空题难度：一般| 查看答案
A是定义在[2，4]上且满足如下两个条件的函数Φ（x）组成的集合：
①对任意的x∈[1，2]，都有Φ（2x）∈（1，2）；
②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|Φ（2x1）-Φ（2x2）|≤L|x1-x2|；
（1）设Φ(x)=


[
3]1+x，x∈[2，4]，证明：Φ（x）∈A；
（2）设Φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=Φ（2x0），那么，这样的x0是唯一的；
（3）设Φ（x）∈A，任取x1∈（1，2），令xn+1=Φ（2xn），n=1，2，…，
证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|成立．
题型：解答题难度：一般| 查看答案
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