定义R在上的函数f(x)为,对任意实数m,n,恒有f(m)•f(n)=f(m+n),且f(0)≠0,当x>0时,0<f(x)<1则:(1)f(0)=______
题型:填空题难度:一般来源:不详
定义R在上的函数f(x)为,对任意实数m,n,恒有f(m)•f(n)=f(m+n),且f(0)≠0,当x>0时,0<f(x)<1则:(1)f(0)=______.(2)当x<0时,1-f(x)______0.(填≤,≥,<,>) |
答案
(1)由题意,令m=n=0,则有f(0)•f(0)=f(0), 又f(0)≠0,所以f(0)=1, 故答案为:1 (2)取m<0,n=-m,代入恒等式得f(m)•f(-m)=f(0)=1, 又x>0时,0<f(x)<1,所以有0<f(-m)<1 由上f(m)•f(-m)=1 所以f(m)=>1,即当x<0时有f(x)>1, 所以有x<0时,1-f(x)<0 故答案为:< |
举一反三
A是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数Φ(x)组成的集合: ①对任意的x∈[1,2],都有Φ(2x)∈(1,2); ②存在常数L(0<L<1),使得对任意的x1,x2∈[1,2],都有|Φ(2x1)-Φ(2x2)|≤L|x1-x2|; (1)设Φ(x)=3]1+x,x∈[2,4],证明:Φ(x)∈A; (2)设Φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=Φ(2x0),那么,这样的x0是唯一的; (3)设Φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=Φ(2xn),n=1,2,…, 证明:给定正整数k,对任意的正整数p,不等式|xk+p-xk|≤|x2-x1|成立. |
设函数f(x)的定义域为D.若存在非零实数l使得对于任意x∈M.有x+l∈D,且f(x+l)≥f(x),则称f(x)为M上的l高调函数,如果定义域是[-1,+∞)的函数f(x)=x2为[-1,+∞)上的m高调函数.求实数m的取值范围. |
已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1. (1)求f(4)与f(8)的值; (2)解不等式f(x)-f(x-2)>3. |
设函数f(x)= | 2x-2,x∈[1,+∞) | x2-2x,x∈(-∞,1) |
| | ,则函数f(x)=-的零点是______. |
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