定义在R上的函数f(x)满足,对任x、y∈R均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(2)=4,则f(x)在[-2012,-100]
题型:填空题难度:一般来源:不详
定义在R上的函数f(x)满足,对任x、y∈R均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(2)=4,则f(x)在[-2012,-100]上的最大值为______. |
答案
令x=y=0得:f(0+0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0; 令y=-x得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x), ∴y=f(x)为奇函数; ∵当x>0时,f(x)>0, ∴当x1<x2时,x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)>0, ∴y=f(x)在R上单调递增. ∴f(x)在[-2012,-100]上的最大值为f(-100). ∵f(2)=4, ∴f(-2)=-4, ∴f(-2-2)=f(-2)+f(-2)=2f(-2)=-4,即f(-4)=-8, 同理可得f(-6)=3f(-2)=-12 …, f(-2n)=nf(-2), ∴f(-100)=50f(-2)=-200. ∴f(x)在[-2012,-100]上的最大值为-200. 故答案为:-200. |
举一反三
函数f(x)= | 2x-x2(0≤x≤2) | x2+6x(-4≤x<0) |
| | 的值域是( )A.[-9,0] | B.[-8,0) | C.[-8,1] | D.[-9,1] |
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张老师给出一个函数y=f(x),四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质: 甲:对于x∈R,都有f(1+x)=f(1-x); 乙:在(-∞,0]上是减函数; 丙:在(0,+∞)上是增函数; 丁:f(0)不是函数的最小值. 现已知其中恰有三个说的正确,则这个函数可能是 ______(只需写出一个这样的函数即可) |
f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m)成立,求实数m的取值范围. |
若函数f(x)=,则方程f(x)=-的解集为______. |
设函数f(x)=,若f(x)=10,则x=______. |
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