已知函数f(t)满足对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.(1)求f(1)的值;(2)证明:对一切大于1的正整数t

已知函数f(t)满足对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.(1)求f(1)的值;(2)证明:对一切大于1的正整数t

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(t)满足对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.
(1)求f(1)的值;
(2)证明:对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t;
(3)试求满足f(t)=t的整数t的个数,并说明理由.
答案
(1)x=y=0得f(0)=-1
x=y=-1得f(-2)=2f(-1)+2
而f(-2)=-2,∴f(-1)=-2
x=1,y=-1得f(0)=f(1)+f(-1)
∴f(1)=1.

(2)x=n,y=1得f(n+1)=f(n)+f(1)+n+1=f(n)+n+2
∴f(n+1)-f(n)=n+2,
∴当n∈N+时,f(n)=f(1)+[3+4++(n+1)]=
1
2
(n2+3n-2)
则f(n)-n=
1
2
(n2+n-2)

而当n∈N+,且n>1时,n2+n-2>0,
∴f(n)>n,则对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t.

(3)∵y=-x时f(x-x)=f(x)+f(-x)+1-x2
∴f(x)=x2-2-f(-x)
∵当x∈N+时由(2)知f(x)=
1
2
(x2+3x-2)

当x=0时,f(0)=-1=
1
2
[02+3×0-2]

当x为负整数时,-x∈N+,则f(-x)=
1
2
(x2-3x-2)

f(x)=x2-2-
1
2
(x2-3x-2)=
1
2
(x2+3x-2)

故对一切x∈Z时,有f(x)=
1
2
(x2+3x-2)

∴当t∈Z时,由f(t)=t得t2+t-2=0,即t=1或t=2
∴满足f(t)=t的整数t有两个.
举一反三
设函数f(x)=





2x-1,x≤0
log2(x+1),x>0
如果f(x0)<1,求x0的取值范围.
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设f(x)是定义在[0,1]上的函数,若存在x*∈(0,1),使得f(x)在[0,x]上单调递增,在[x,1]单调递减,则称f(x)为[0,1]上的单峰函数,x为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.
对任意的[0,1]上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(Ⅰ)证明:对任意的x1,x2∈(0,1),x1<x2,若f(x1)≥f(x2),则(0,x2)为含峰区间;若f(x1)≤f(x2),则(x1,1)为含峰区间;
(Ⅱ)对给定的r(0<r<0.5),证明:存在x1,x2∈(0,1),满足x2-x1≥2r,使得由(Ⅰ)确定的含峰区间的长度不大于0.5+r;
(Ⅲ)选取x1,x2∈(0,1),x1<x2由(Ⅰ)可确定含峰区间为(0,x2)或(x1,1),在所得的含峰区间内选取x3,由x3与x1或x3与x2类似地可确定是一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0,x2)的情况下,试确定x1,x2,x3的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.
(区间长度等于区间的右端点与左端点之差).
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定义在R+上的函数f(x)对任意实数a,b∈R+,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立,且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)
(2)求证:f(x)为减函数.
(3)当f(4)=-2时,解不等式f(x-3)+f(5)≥-1.
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已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5,求不等式f(a2-2a-2)<3的解.
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定义在(0,+∞)的函数f(x),对于任意的a,b∈(0,+∞),都有f(ab)=f(a)+f(b)成立,当x>1时,f(x)<0.
(1)求证:1是函数f(x)的零点;
(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明;
(3)若f(
1
4
)=
1
2
,解不等式f(mx+
1
16
)>1
(m>0).
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