定义在(0,+∞)的函数f(x),对于任意的a,b∈(0,+∞),都有f(ab)=f(a)+f(b)成立,当x>1时,f(x)<0.(1)求证:1是函数f(x)
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定义在(0,+∞)的函数f(x),对于任意的a,b∈(0,+∞),都有f(ab)=f(a)+f(b)成立,当x>1时,f(x)<0.(1)求证:1是函数f(x)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
定义在(0,+∞)的函数f(x),对于任意的a,b∈(0,+∞),都有f(ab)=f(a)+f(b)成立,当x>1时,f(x)<0.
(1)求证:1是函数f(x)的零点;
(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明;
(3)若
f(
1
4
)=
1
2
,解不等式
f(mx+
1
16
)>1
(m>0).
答案
证明:(1)令a=b=1,
则f(1×1)=f(1)+f(1)=f(1),
∴f(1)=0
∴1是函数f(x)的零点.
(2)令a=x,b=
1
x
,
则f(1)=f(
x•
1
x
)=f(x)+f(
1
x
)=0,
∴f(
1
x
)=-f(x),
任意x
1
、x
2
∈(0,+∞),且x
2
>x
1
>0,
∴
x
2
x
1
>1
,
∴
f(
x
2
x
1
) =f(
x
2
) +f(
1
x
1
) =f(
x
2
) -f(
x
1
)<0
,
∴f(x
2
)<f(x
1
)
∴函数f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.
(3)∵
f(
1
16
) =f(
1
4
) +f(
1
4
) =
1
2
+
1
2
=1
,
∴不等式
f(mx+
1
16
)>1
.即为:
f(mx+
1
16
)>f(
1
16
)
,
又因为函数f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数,
∴
0<mx+
1
16
<
1
16
,又∵m>0,
解得:
-
1
16m
<x<0
故不等式的解集为:
x|-
1
16m
<x<0}
.
举一反三
已知函数f(x)定义域为(0,+∞),且满足f(4)=1,f(xy)=f(x)+f(y);
则(1 )f(1)=______; (2)f(
1
16
)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设函数
f(x)=
x
1
2
,(x>0)
(
1
2
)
x
-1,(x≤0)
,已知f(a)>1,则a的取值范围为( )
A.(-1,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+°∞)
D.(1,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域.
题型:解答题
难度:一般
|
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(I)付费总数y与行驶路程x收费之间的函数关系式;
(II)当出租车行驶了15km后,乘客是中途换乘一辆出租车还是继续乘坐这辆出租车行驶完余下的5km路程,哪一种方式更便宜?”
题型:解答题
难度:一般
|
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A.x=60t
B.x=60t+50t
C.
x=
60t
50t-25
(0≤t≤2.5)
(t>3.5)
D.
x=
60t
150
50t-25
(0≤t≤2.5)
(2.5<t≤3.5)
(3.5<t≤6.5)
题型:单选题
难度:简单
|
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