已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,求f(x)在区间[-2,1]上的值域. |
答案
任取x1<x2,x2-x1>0, ∵当x>0时,f(x)>0, ∴f(x2-x1)>0 ∵f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1) ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0, 即∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)为增函数. 在条件中,令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x), 再令x=y=0,则f(0)=2 f(0), ∴f(0)=0,故f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数, ∴f(1)=-f(-1)=2,又f(-2)=2f(-1)=-4, ∴f(x)的值域为[-4,2]. |
举一反三
某城市出租车,乘客上车后,行驶3km内收费都是10元,之后每行驶1km收费2元,超过15km,每行驶1km收费为3元(假设途中一路顺利,没有停车等候,).若乘客需要行驶20km,求 (I)付费总数y与行驶路程x收费之间的函数关系式; (II)当出租车行驶了15km后,乘客是中途换乘一辆出租车还是继续乘坐这辆出租车行驶完余下的5km路程,哪一种方式更便宜?” |
已知A,B两地相距150km,某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1h后再以50km/h的速度返回A地,把汽车离开A地行驶的路程x(km)表示为时间t(h)的函数表达式是( )A.x=60t | B.x=60t+50t | C.x= | D.x= | (0≤t≤2.5) | (2.5<t≤3.5) | (3.5<t≤6.5) |
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设函数y=f(x)不恒等于零,对于任意x,y有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,则f (x) 为R上的______(填增,减)函数. |
设函数f(x)的定义域为(0,+∞)且对任意正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1且x>1时f(x)>0. (1)求f()的值; (2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明; (3)一个各项均为正数的数列{an}满足f(Sn)=f(an)+f(an+1)-1(n∈N*),其中Sn是数列{an}的前n项和,求{an}的通项公式. |
已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的函数,若对于任意x,y∈[-1,1],都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,有f(x)>0 (1)判断函数的奇偶性; (2)判断函数f(x)在[-1,1]上是增函数,还是减函数,并用单调性定义证明你的结论; (3)设f(1)=1,若f(x)<(1-2a)m+2,对所有x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围. |
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