设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1,且x>1时,f(x)>0.(1)求f(1
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设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1,且x>1时,f(x)>0.(1)求f(1
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.已知f(2)=1,且x>1时,f(x)>0.
(1)求f(
1
2
)的值;
(2)判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给出你的证明;
(3)解不等式f(x
2
)>f(8x-6)-1.
答案
(1)令x=y=1,则可得f(1)=0,
再令x=2,y=
1
2
,得f(1)=f(2)+f(
1
2
),故f(
1
2
)=-1
(2)设0<x
1
<x
2
,则f(x
1
)+f(
x
2
x
1
)=f(x
2
)
即f(x
2
)-f(x
1
)=f(
x
2
x
1
),
∵
x
2
x
1
>1,故f(
x
2
x
1
)>0,即f(x
2
)>f(x
1
)
故f(x)在(0,+∞)上为增函数
(3)由f(x
2
)>f(8x-6)-1得f(x
2
)>f(8x-6)+f(
1
2
)=f[
1
2
(8x-6)],
故得x
2
>4x-3且8x-6>0,解得解集为{x|
3
4
<x<1或x>3}.
举一反三
偶函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x,y∈D,有f(xy)=f(x)+f(y),若x>1时,f(x)>0.
(1)求f(1)的值;
(2)求证f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;
(3)若f(4)=1,求不等式f(3x+1)≤2的解集.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=2
x
-1,g(x)=1-x
2
,构造函数F(x),定义如下:当|f(x)|≥g(x)时,F(x)=|f(x)|,当|f(x)|<g(x)时,F(x)=-g(x),那么F(x)( )
A.有最小值0,无最大值
B.有最小值-1,无最大值
C.有最大值1,无最小值
D.无最小值,也无最大值
题型:单选题
难度:简单
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已知函数
f(x)=
x+1(x≥0)
2
|x|
(x<0)
则方程f(x)=4的解集为( )
A.{3,-2,2}
B.{-2,2}
C.{3,2}
D.{3,-2}
题型:单选题
难度:一般
|
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北京奥运会纪念章特许专营店销售纪念章,每枚进价为5元,同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时,该店一年可销售2000枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚,而每增加一元则减少销售100枚,现设每枚纪念章的销售价格为x元(x∈N*).
(Ⅰ)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域);
(Ⅱ)当每枚纪念章的销售价格x为多少元时,该特许专营店一年内利润y(元)最大,并求出这个最大值.
题型:解答题
难度:一般
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函数y=|x|的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
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