偶函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x,y∈D,有f(xy)=f(x)+f(y),若x>1时,f(x)>0.(1)求f(1)的值;(2)求
题型:解答题难度:一般来源:不详
偶函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x,y∈D,有f(xy)=f(x)+f(y),若x>1时,f(x)>0. (1)求f(1)的值; (2)求证f(x)在区间(0,+∞)上是增函数; (3)若f(4)=1,求不等式f(3x+1)≤2的解集. |
答案
(1)令x=y=1代入f(xy)=f(x)+f(y),得f(1)=0; (2)令y=,代入f(xy)=f(x)+f(y),得f(x)+f()=0,即f()=-f(x); ∵x>1时,f(x)>0,令0<x1<x2,>1, ∴f()=f(x2•)=f(x2)+f()=f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在区间(0,+∞)上是增函数; (3)∵偶函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,f(4)=1, ∵f(3x+1)≤2=f(4)+f(4)=f(16), ∴|3x+1|≤16(x≠0), ∴-≤x<0或0<x≤5. ∴所求不等式的解集为:{x|-≤x<0或0<x≤5}. |
举一反三
已知函数f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,构造函数F(x),定义如下:当|f(x)|≥g(x)时,F(x)=|f(x)|,当|f(x)|<g(x)时,F(x)=-g(x),那么F(x)( )A.有最小值0,无最大值 | B.有最小值-1,无最大值 | C.有最大值1,无最小值 | D.无最小值,也无最大值 |
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已知函数f(x)=则方程f(x)=4的解集为( )A.{3,-2,2} | B.{-2,2} | C.{3,2} | D.{3,-2} |
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北京奥运会纪念章特许专营店销售纪念章,每枚进价为5元,同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元,预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时,该店一年可销售2000枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚,而每增加一元则减少销售100枚,现设每枚纪念章的销售价格为x元(x∈N*). (Ⅰ)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域); (Ⅱ)当每枚纪念章的销售价格x为多少元时,该特许专营店一年内利润y(元)最大,并求出这个最大值. |
偶函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy-1,则f(x)的表达式为______. |
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