已知函数f(x)对任意x,y∈R,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且当x>0时,f(x)>2,f(3)=5.(1)判断函数f(x)的单调性;(2)
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已知函数f(x)对任意x,y∈R,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且当x>0时, f(x)>2,f(3)=5. (1)判断函数f(x)的单调性; (2)求不等式f(a2﹣2a﹣2)<3的解集. |
答案
解:(1)设x1<x2,则x2﹣x1>0, ∵x>0,f(x)>2; ∴f(x2﹣x1)>2; 即f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]=f(x2﹣x1)+f(x1)﹣2>2+f(x1)﹣2=f(x1), 即f(x2)>f(x1). 所以:函数f(x)为单调增函数 (2)∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)﹣2=[f(1)+f(1)﹣2]+f(1)﹣2=3f(1)﹣4=5 ∴f(1)=3.即f(a2﹣2a﹣2)<3f(a2﹣2a﹣2)<f(1) ∴a2﹣2a﹣2<1a2﹣2a﹣3<0 解得不等式的解为:﹣1<a<3. |
举一反三
已知,则的值为 |
[ ] |
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 |
设函数,则=( )。 |
已知函数是奇函数,若f(x)在区间[﹣2,a﹣1]上单调递增,则实数a的取值范围是( ). |
设函数,若f(a)>1,则a的取值范围是 |
[ ] |
A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) D.(﹣∞,0)∪(1,+∞) |
已知函数f(x)=若f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为 ( ). |
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