设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f()=1,(1)求f(1),f(),f(9)的值,(2)如果f(x)+f
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设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f()=1,(1)求f(1),f(),f(9)的值,(2)如果f(x)+f
题型:解答题
难度:一般
来源:山东省月考题
设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(
)=1,
(1)求f(1),f(
),f(9)的值,
(2)如果f(x)+f(2﹣x)<2,求x的取值范围.
答案
解:(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),
∴f(1)=0
令x=3,y=
,则f(1)=f(3)+f(
),
∴f(3)=﹣1
∴f(
)=f(
)=f(
)+f(
)=2
∴f(9)=f(3×3)=f(3)+f(3)=﹣2
(2)∵f(x)+f(2﹣x)=f[x(2﹣x)]<2=f(
),
又由函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数得:
解之得:
.
举一反三
已知函数 f(x)的定义域为R,且对任意 x∈Z,都有 f(x)=f(x﹣1)+f(x+1).若f(﹣1)=6,f(1)=7,则 f(2012)+f(﹣2012)=( ).
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
若f(x
0
)>3,则x
0
的取值范围是
[ ]
A.x
0
>8
B.x
0
<0或x
0
>8
C.0<x
0
<8
D.x
0
<0或0<x
0
<8
题型:单选题
难度:一般
|
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函数f(x)的定义域为A,若x
1
,x
2
∈A,且f(x
1
)=f(x
2
)时总有x
1
=x
2
,则称f(x)为单函数.例如f(x)=2x+1(x∈R)是单函数,下列命题:
①函数f(x)=x
2
(x∈R)是单函数;
②函数f(x)=2
x
(x∈R)是单函数,
③若f(x)为单函数,x
1
,x
2
∈A且x
1
≠x
2
,则f(x
1
)≠f(x
2
);
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数
其中的真命题是( )(写出所有真命题的编号)
题型:填空题
难度:一般
|
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题型:解答题
难度:一般
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已知函数f(x)对任意x,y∈R,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且当x>0时,
f(x)>2,f(3)=5.
(1)判断函数f(x)的单调性;
(2)求不等式f(a
2
﹣2a﹣2)<3的解集.
题型:解答题
难度:一般
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