已知a∈R,函数f(x)=x2|x-a|, (Ⅰ)当a=2时,求f(x)=x使成立的x的集合; (Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值。
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已知a∈R,函数f(x)=x2|x-a|, (Ⅰ)当a=2时,求f(x)=x使成立的x的集合; (Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值。
题型:解答题
难度:一般
来源:模拟题
已知a∈R,函数f(x)=x
2
|x-a|,
(Ⅰ)当a=2时,求f(x)=x使成立的x的集合;
(Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值。
答案
解:(Ⅰ)由题意,
,
当x<2时,
,解得x=0或x=1;
当x≥2时,
,解得
;
综上,所求解集为
。
(Ⅱ)设此最小值为m, ①当a≤1时,在区间[1,2]上,
,
因为
,
则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a;
②当1<a≤2时,在区间[1,2]上,
,
由f(a)=0,知m= f(a)=0;
③当a>2时,在区间[1,2]上,
;
若a≥3,在区间[1,2]内,f′(x)>0,从而f(x)为区间[1,2]上的增函数,
由此得
;
若2<a<3,则
,
当
时,f′(x)>0,从而f(x)为区间
上的增函数;
当
时,f′(x)<0,从而f(x)为区间
上的减函数;
因此,当2<a<3时,
;
当
时,4(a-2)≤a-1,故m=4(a-2);
当
时,a-1<4(a-2),故m=a-1;
综上所述,所求函数的最小值
。
举一反三
设集合A={x|0≤x<1},B={x|1≤x≤2},函数
,若当x
0
∈A时,f[f(x
0
)]∈A,则x
0
的取值范围是
[ ]
A.(
)
B.(
)
C.(
)
D.[0,
]
题型:单选题
难度:一般
|
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设集合A={x|0≤x≤1},B={x|1≤x≤2},函数
,x
0
∈A且f[f(x
0
)]∈A,则x
0
的取值范围是( )。
题型:填空题
难度:一般
|
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设
是定义在R上最小正周期为
的函数,且在
上
,则
的值为
.
题型:填空题
难度:一般
|
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设
是定义在R上最小正周期为
的函数,且在
上
,则
的值为
.
题型:填空题
难度:一般
|
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题型:解答题
难度:一般
|
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