设函数y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点为P点,且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式.

设函数y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点为P点,且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式.

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点为P点,且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式.
答案
∵y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P,
∴P的坐标为P(0,d).又曲线在点P处的切线方程为y=12x-4,
P点坐标适合方程,从而d=-4.
又切线斜率k=12,故在x=0处的导数y′|x=0=12,
而y′=3ax2+2bx+c,y′|x=0=c,从而c=12.
又函数在x=2处取得极值0,所以





y′ x=2=0
f(2)=0
,即





12a+4b+12=0
8a+4b+20=0

解得a=2,b=-9.
∴所求函数解析式为y=2x3-9x2+12x-4.
举一反三
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的偶函数,且当x∈[1,2]时,该函数的值域为[-2,1].求函数f(x)的解析式.
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已知函数y=f (x)的定义域为R,f (27)=3,且对任意的实数x1,x2,必有f (x1•x2)=f (x1)•f (x2)  成立,写出满足条件的一个函数为______.
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某企业有一条价值为m万元的生产流水线,要提高其生产能力,提高产品的产值,就要对该流水线进行技术改造,假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足:①y与(m-x)x2成正比;②当x=
m
2
时,y=
m3
2
;③0≤
x
4(m-x)
≤a
,其中a为常数,且a∈[0,2]
(1)设y=f(x),求出f(x)的表达式;
(2)求产值y的最大值,并求出此时x的值.
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1、已知函数f(x)=ax+
x-2
x+1
(a>1),
求证:(1)函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)方程f(x)=0没有负数根.
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在同一平面直角坐标系中,已知函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(x)对解析式为 ______;其应的曲线在点(e,f(e))处的切线方程为 ______.
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