1、已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a>1),求证:(1)函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;(2)方程f(x)=0没有负数根.
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1、已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a>1),求证:(1)函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;(2)方程f(x)=0没有负数根.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
1、已知函数
f(x)=
a
x
+
x-2
x+1
(a>1),
求证:(1)函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)方程f(x)=0没有负数根.
答案
证明:(1)设-1<x
1
<x
2
,
∴
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
a
x
1
+
x
1
-2
x
1
+1
-
a
x
2
-
x
2
-2
x
2
+1
=
a
x
1
-
a
x
2
+
x
1
-2
x
1
+1
-
x
2
-2
x
2
+1
=
a
x
1
-
a
x
2
+
3(
x
1
-
x
2
)
(
x
1
+1)(
x
2
+1)
,
∵-1<x
1
<x
2
,∴x
1
+1>0,x
2
+1>0,x
1
-x
2
<0,
∴
3(
x
1
-
x
2
)
(
x
1
+1)(
x
2
+1)
<0
;
∵-1<x
1
<x
2
,且a>1,∴
a
x
1
<
a
x
2
,∴
a
x
1
-
a
x
2
<0
,
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),
∴函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)假设x
0
是方程f(x)=0的负数根,且x
0
≠-1,则
a
x
0
+
x
0
-2
x
0
+1
=0
,
即
a
x
0
=
2-
x
0
x
0
+1
=
3-(
x
0
+1)
x
0
+1
=
3
x
0
+1
-1
,①
当-1<x
0
<0时,0<x
0
+1<1,∴
3
x
0
+1
>3
,
∴
3
x
0
+1
-1>2
,而由a>1知
a
x
0
<1
.∴①式不成立;
当x
0
<-1时,x
0
+1<0,∴
3
x
0
+1
<0
,∴
3
x
0
+1
-1<-1
,而
a
x
0
>0
.
∴①式不成立.综上所述,方程f(x)=0没有负数根.
举一反三
在同一平面直角坐标系中,已知函数y=f(x)的图象与y=e
x
的图象关于直线y=x对称,则函数y=f(x)对解析式为 ______;其应的曲线在点(e,f(e))处的切线方程为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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若双曲线
x
2
4
-
y
2
b
2
=1(b>0)的渐近线方程式为y=
±
1
2
x
,则b等于______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
已知f(x+2)=x
2
+2x-3,函f(x)的表达式是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a,b,c,d∈R),且函数f(x)的图象关于原点
对称,其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在区间[m,n],使得函数g(x)的定义域和值域均为[m,n],且其解析式为f(x)的解析式?若存在,求出这样一个区间[m,n];若不存在,则说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知抛物线y=x
2
+2x+8,将这条抛物线平移到顶点与(-2,3)重合时,求函数的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
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