设函数f(x)=x2ax-2(a∈N*),又存在非零自然数m,使得f(m)=m,f(-m)<-1m成立.(1)求函数f(x)的表达式;(2)设{an}是各项非零
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设函数f(x)=x2ax-2(a∈N*),又存在非零自然数m,使得f(m)=m,f(-m)<-1m成立.(1)求函数f(x)的表达式;(2)设{an}是各项非零
题型:解答题
难度:一般
来源:杭州一模
设函数f(x)=
x
2
ax-2
(a∈N
*
),又存在非零自然数m,使得f(m)=m,f(-m)<-
1
m
成立.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)设{a
n
}是各项非零的数列,若
f(
1
a
n
)=
1
4(
a
1
+
a
2
+…+
a
n
)
对任意n∈N
*
成立,求数列{a
n
}的一个通项公式;
(3)在(2)的条件下,数列{a
n
}是否惟一确定?请给出判断,并予以证明.
答案
(1)∵f(x)=
x
2
ax-2
(a∈N
*
),
∴f(m)=
m
2
am-2
=m,且m≠0,
∴(a-1)m=2,显然a≠1,所以m=
2
a-1
①;
又f(-m)=
m
2
-am-2
<-
1
m
,即
m
3
am+2
>1,
由(a,m∈N
*
)得:m
3
>am+2②,
把①代入②,得
8
(a-1)
3
>
2a
a-1
+2;
整理,得
8
(a-1)
3
-
2
a-1
-4>0,
根据a≠1,a∈N
*
,取a=2,满足上式,当a≥3时,
8
(a-1)
3
-
2
a-1
-4<0,
故a=2,此时m=2;
所以,函数f(x)=
x
2
2x-2
.
(2)令s
n
=a
1
+a
2
+…+a
n
,根据(1)知f(x)=
x
2
2x-2
,则
f(
1
a
n
)
=
1
2
a
n
-2
a
n
2
,
代入
f(
1
a
n
)=
1
4(
a
1
+
a
2
+…+
a
n
)
,
得2a
n
-2a
n
2
=4(a
1
+a
2
+…+a
n
)=4s
n
,即a
n
-a
n
2
=2s
n
,
∴a
n-1
-a
n-1
2
=2s
n-1
(n≥2),
∴(a
n
-a
n
2
)-(a
n-1
-a
n-1
2
)=2a
n
,
∴a
n
+a
n-1
=0,或a
n
-a
n-1
=-1(n≥2),
又当n=1时,a
1
-a
1
2
=2a
1
,
∴a
1
=0(舍去),或a
1
=-1;
由a
n
-a
n-1
=-1,得{a
n
}是等差数列,通项a
n
=-n.
(3)由(2)的条件知,数列{a
n
}的通项公式不止一个,
例如由a
n
+a
n-1
=0,且a
1
=-1,可得a
n
=(-1)
n
(n为奇数时);
所以,数列{a
n
}不是惟一确定的.
举一反三
设函数y=ax
3
+bx
2
+cx+d的图象与y轴交点为P点,且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d是定义在R上的偶函数,且当x∈[1,2]时,该函数的值域为[-2,1].求函数f(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数y=f (x)的定义域为R,f (27)=3,且对任意的实数x
1
,x
2
,必有f (x
1
•x
2
)=f (x
1
)•f (x
2
) 成立,写出满足条件的一个函数为______.
题型:填空题
难度:一般
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某企业有一条价值为m万元的生产流水线,要提高其生产能力,提高产品的产值,就要对该流水线进行技术改造,假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足:①y与(m-x)x
2
成正比;②当
x=
m
2
时,
y=
m
3
2
;③
0≤
x
4(m-x)
≤a
,其中a为常数,且a∈[0,2]
(1)设y=f(x),求出f(x)的表达式;
(2)求产值y的最大值,并求出此时x的值.
题型:解答题
难度:一般
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1、已知函数
f(x)=
a
x
+
x-2
x+1
(a>1),
求证:(1)函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)方程f(x)=0没有负数根.
题型:解答题
难度:一般
|
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