设函数f(x)=x2ax-2(a∈N*),又存在非零自然数m,使得f(m)=m,f(-m)<-1m成立.(1)求函数f(x)的表达式;(2)设{an}是各项非零

设函数f(x)=x2ax-2(a∈N*),又存在非零自然数m,使得f(m)=m,f(-m)<-1m成立.(1)求函数f(x)的表达式;(2)设{an}是各项非零

题型:解答题难度:一般来源:杭州一模
设函数f(x)=
x2
ax-2
(a∈N*),又存在非零自然数m,使得f(m)=m,f(-m)<-
1
m
成立.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)设{an}是各项非零的数列,若f(
1
an
)=
1
4(a1+a2+…+an)
对任意n∈N*成立,求数列{an}的一个通项公式;
(3)在(2)的条件下,数列{an}是否惟一确定?请给出判断,并予以证明.
答案
(1)∵f(x)=
x2
ax-2
(a∈N*),
∴f(m)=
m2
am-2
=m,且m≠0,
∴(a-1)m=2,显然a≠1,所以m=
2
a-1
①;
又f(-m)=
m2
-am-2
<-
1
m
,即
m3
am+2
>1,
由(a,m∈N*)得:m3>am+2②,
把①代入②,得
8
(a-1)3
2a
a-1
+2;
整理,得
8
(a-1)3
-
2
a-1
-4>0,
根据a≠1,a∈N*,取a=2,满足上式,当a≥3时,
8
(a-1)3
-
2
a-1
-4<0,
故a=2,此时m=2;
所以,函数f(x)=
x2
2x-2

(2)令sn=a1+a2+…+an,根据(1)知f(x)=
x2
2x-2
,则f(
1
an
)
=
1
2an-2an2

代入f(
1
an
)=
1
4(a1+a2+…+an)

得2an-2an2=4(a1+a2+…+an)=4sn,即an-an2=2sn
∴an-1-an-12=2sn-1(n≥2),
∴(an-an2)-(an-1-an-12)=2an
∴an+an-1=0,或an-an-1=-1(n≥2),
又当n=1时,a1-a12=2a1
∴a1=0(舍去),或a1=-1;
由an-an-1=-1,得{an}是等差数列,通项an=-n.
(3)由(2)的条件知,数列{an}的通项公式不止一个,
例如由an+an-1=0,且a1=-1,可得an=(-1)n(n为奇数时);
所以,数列{an}不是惟一确定的.
举一反三
设函数y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点为P点,且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式.
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已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的偶函数,且当x∈[1,2]时,该函数的值域为[-2,1].求函数f(x)的解析式.
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已知函数y=f (x)的定义域为R,f (27)=3,且对任意的实数x1,x2,必有f (x1•x2)=f (x1)•f (x2)  成立,写出满足条件的一个函数为______.
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某企业有一条价值为m万元的生产流水线,要提高其生产能力,提高产品的产值,就要对该流水线进行技术改造,假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足:①y与(m-x)x2成正比;②当x=
m
2
时,y=
m3
2
;③0≤
x
4(m-x)
≤a
,其中a为常数,且a∈[0,2]
(1)设y=f(x),求出f(x)的表达式;
(2)求产值y的最大值,并求出此时x的值.
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1、已知函数f(x)=ax+
x-2
x+1
(a>1),
求证:(1)函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)方程f(x)=0没有负数根.
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