已知函数f（x）=x3+a•x2+bx+c的图象上的一点M（1，m）处的切线的方程为y=2，其中a，b，c∈R．（1）若a=-3，求f（x）的解析式，并表示成f
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=x3+a•x2+bx+c的图象上的一点M（1，m）处的切线的方程为y=2，其中a，b，c∈R．
（1）若a=-3，求f（x）的解析式，并表示成f（x）=（x+t）3+k，（t，k为常数）；
（2）问函数y=f（x）是否有单调减区间，若存在，求单调减区间（用a表示），若不存在，请说明理由． |
答案
（本小题满分12分）
（1）f′（x）=3x2+2a•x+b⇒f′（1）=3+2a+b=0
由∵m=2⇒f（1）=1+a+b+c=2∵a=-3⇒b=3，c=1，f（x）=x3-3x2+3x+1=（x-1）3+2…（4分）
（2）f′（x）=3x2+2a•x+b由（1）知b=-2a-3
所以 f′(x) =3x2+2a•x-(2a+3)=3(x+)•(x-1)…（6分）
令f′(x) =0⇒x=-，x=1…（8分）
当-=1⇔a=-3即f′（x）=3（x-1）2≥0
∵f（x）为R上为增函数，所以函数没有单调减区间； …（9分）
当-＞1⇔a＜-3时，可以判定f（x）单调减区间为(1，-)…（10分）
当-＜1⇔a＞-3时，可以判定f（x）单调减区间为(-，1)…（11分）
综上：a=-3，函数没有单调减区间；a＜-3，f（x）单调减区间为(1，-)；
a＞-3，f（x）单调减区间为(-，1)．…（12分） |
举一反三
已知函数f（x）=m+logax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2），点P（3，-1）关于直线x=2的对称点Q在f（x）的图象上．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值． |
| 设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），f(x)=log(1-x)，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是______． |
| 已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且满足f（x）+g（x）=，求f（x），g（x）． |
设函数f（x）=x3+ax，g（x）=2x2+b，已知它们的图象在x=1处有相同的切线．
（Ⅰ）求函数f（x）和g（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-m•g（x）在区间[，3]上是单调减函数，求实数m的取值范围． |
a是实常数，函数f（x）对于任何的非零实数x都有f()=af(x)-x-1，且f(1)=1，则不等式f（x）-x≥0的解集为（ ）| A．(-∞，-]∪(0，1] | B．(-∞，-]∪[1，+∞) | | C．[-，0∪(0，1] | D．[-，0)∪[1，+∞) |
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